Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых размерностей пространства - [190]

, закон силы примет вид

1/Mⁿ⁺²x 1/rⁿ x1/r2

где r больше R, и силовые линии не могут более распространяться в дополнительных измерениях. Если осуществить отождествление МPl² = М^п+2Rⁿ, то это будет форма пространственно трехмерного закона силы. Так как R^п есть объем пространства дополнительных измерений, мы получаем, что интенсивность гравитационного взаимодействия уменьшается с объемом, или, что эквивалентно (так как интенсивность тяготения слабее, когда планковский масштаб энергии больше), планковский масштаб энергии большой, если объем большой.

35. Плоская метрика с тремя пространственными измерениями имеет вид

ds² = dx² + dy² + dz² — с²dt².

Так как в ней нет никаких коэффициентов, зависящих от пространственных или временной переменных, измерения не зависят от того, где вы находитесь или в каком направлении смотрите. Можно сказать, что пространство-время полностью плоское. Все три пространственные координаты, а также временная координата (с точностью до знака минус, который всегда выделяет время) рассматриваются на равных основаниях. Это означает, что коэффициенты в слагаемых метрики полностью не зависят от положения во времени и пространстве.

36. Метрика закрученной геометрии имеет вид

ds² = е ^-k|r| (dx² + dy² + dz² — с²dt²) + dr²,

где г — координата пятого измерения. Это говорит нам о том, что при любом фиксированном положении в пятом измерении, соответствующем фиксированному значению г, пространство-время полностью плоское. Однако общий зависящий от г множитель указывает, что способ измерения размера меняется в соответствии с положением объекта в пятом измерении. Экспоненциальное уменьшение коэффициента, являющегося закручивающим конформным фактором, есть причина того, что функция вероятности гравитона экспоненциально уменьшается, а также того, почему мы должны менять масштаб массы, энергии и размера, чтобы получить единую четырехмерную эффективную теорию.

37. Так как пространство не является плоским, объем дополнительных измерений, возникающий при вычислении M_Pl в четырех измерениях, не равен просто M_Pl³R, как это было бы в случае плоского пространства. Теперь значение M_Pl зависит от кривизны. Если метрика имеет форму

ds² = е ^-k|r| (dx² + dy² + dz² — с²dt²) + dr²

где r — координата пятого измерения, то, приблизительно, M_Pl^{2 =} М³/k. Иными словами, размер пространства в значительной степени безразличен. Это разумно, так как кривизна пространства, а не размер дополнительного измерения, определяет то, каким образом силовые линии распространяются в дополнительном измерении, и тем самым определяют интенсивность четырехмерной гравитации. На самом деле существует небольшая зависимость от R. Правильная формула имеет вид

M_Pl =M³ / k(1 — e^-kR),

но когда kR велико, экспоненциальное слагаемое практически не существенно, и им можно пренебречь.

38. Закручивающий фактор в локально локализованной модели гравитации, которую предложили Андреас Карч и я, есть сумма уменьшающейся экспоненциальной функции (как в закрученных геометриях, которые мы уже рассматривали) и растущей экспоненциальной функции. Этот фактор пропорционален ch (kc — k|r|), где величина k связана с энергией балка, а величина с — с энергией браны. Аналогично закручивающему фактору локализованной гравитации, который мы уже рассматривали, этот закручивающий фактор экспоненциально уменьшается, если вы покидаете брану. Но в противоположность предыдущему случаю, закручивающий фактор резко меняет поведение и экспоненциально возрастает. Четырехмерный гравитон локализован в области между браной и этой «точкой разворота». Вне этого расстояния четырехмерная гравитация более неприменима.

39. При преобразовании T-дуальности радиус компактификации r меняется со своим обратным 1/r (расстояния при этом измеряются в единицах длины струны).

40. Однако физики Чаба Чаки, Джошуа Эрлих и Кристоф Грожан сделали интересное наблюдение, что скорость света и скорость гравитации могут различаться (в действительности скорость распространения гравитации может быть больше), если существует асимметрично закрученное пространство-время, в котором масштабы временной и пространственных координат вдоль пятого измерения отличаются друг от друга.