Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда - [27]

От Келлога я узнал, что старая задача о распределении потенциалов снова стала привлекать всеобщее внимание. Здесь невозможно точно сформулировать эту задачу, но я постараюсь объяснить, о чем в ней идет речь. В физике часто приходится иметь дело с величинами, принимающими различные значения в различных точках плоскости или пространства. Одной из таких величин является температура в комнате. Существует также ряд других подобных величин, описывающих такие процессы, как движение жидкости или диффузия газа; сюда же относятся измеряемая вольтметром переменная электродвижущая сила между точками пространства и землей или между двумя точками проводника с током.

Вряд ли стоит вдаваться в подробности относительно того, что называется электродвижущей силой; достаточно будет сказать, что это то, что мы измеряем в вольтах. Отметим также, что математическое изучение любых величин, изменяющихся в пространстве и во времени, относится к области дифференциальных уравнений в частных производных, представляющих собой математическое выражение связей, существующих между скоростью изменения нашей величины в различных пространственных направлениях и скоростью ее изменения во времени. То, что существуют величины, распределенные в пространстве и во времени одновременно, и что для них существуют скорости изменения в пространстве и во времени, было хорошо известно еще со времен Лейбница. Температура может меняться со скоростью стольких-то градусов в час, но она может также меняться со скоростью стольких-то градусов на 100 миль при перемещении к северу и стольких-то градусов на 100 миль при перемещении к востоку. В случае потоков воды, стекающих с холма, скорость изменения высоты непосредственно связана со скоростью потока: чем круче склон, тем быстрее течение.

Многие величины, распределенные в пространстве и во времени, очень важны для техники. Так, скорость убывания электродвижущей силы при удалении от линии передачи определяет, будет ли происходить передача по линии без существенных потерь или же эта линия в ночное время будет окружена сиянием в виде короны, уносящим много долларов из карманов компании, ведущей передачи, и ее клиентов. Для изучения теплоизоляционных свойств стен дома надо знать соотношения между потоком тепла и скоростью изменения температуры. Число примеров такого рода можно увеличивать почти безгранично.

Многие математические вопросы, связанные с исследованием подобных распределенных величин (которые мы будем называть потенциалами), разобраны до конца и не содержат никаких неясностей. Так, например, задача о распределении электродвижущей силы в части пространства, удаленной от стенок и от любых проводников, является сравнительно простой. Однако как только мы подходим к областям пространства, непосредственно примыкающим к поверхностям, имеющим некоторые специальные электрические свойства, мы немедленно сталкиваемся с затруднениями. Вблизи этих поверхностей, называемых границами, задача об определении электростатических потенциалов неимоверно усложняется. Аналогичные трудности возникают в теории теплопроводности и при изучении потоков жидкости.

Аномальное поведение потенциалов вблизи границы ярко проявляется, например, в поведении электростатического потенциала около заостренных концов проводника типа острия громоотвода. Если такое острие соприкасается со средой, содержащей электрические заряды, то непосредственно вблизи него скорость падения электродвижущей силы становится огромной или даже бесконечной. Электрическое поле при этом может не выдержать такой скорости изменения потенциала, или, как еще говорят, такого градиента потенциала. В результате воздух около острия перестает быть изолятором и, если поле достаточно велико, острие оказывается окруженным электрическим разрядом — короной, хорошо видимой в темноте. Многим морякам известно любопытное явление, называемое огнями святого Эльма, когда в насыщенной электричеством грозовой атмосфере гвозди и другие заостренные металлические предметы начинают светиться таинственными огоньками. Такая же электрическая корона возникает у острия громоотвода; именно благодаря этому громоотвод вызывает постепенное и незаметное ослабление градиентов потенциала в заряженной атмосфере и предохраняет от наращивания этих градиентов до степени, при которой они могут вызвать разрушительный электрический разряд.

Вообще, там, где электростатический потенциал очень быстро изменяется в пространстве, некоторые среды испытывают сильное напряжение и в конце концов могут быть пробиты электрическим зарядом, подобно тому как молния пробивает воздух и может пробить стекло в окне. Способность среды противостоять такому напряжению называется диэлектрическим сопротивлением.

До сих пор я рассматривал задачу о поведении электрического поля вблизи заостренных проводников с точки зрения физика, ставящего это поведение в зависимость от диэлектрического сопротивления среды, окружающей проводник. Существует, однако, родственная задача, имеющая более формальный чисто математический характер.

Мы здесь сталкиваемся с одной из тех ситуаций, когда между математической и физической задачами обнаруживается тесная связь, но сами эти задачи не соответствуют одна другой абсолютно точно. Все реально существующие острия, изучаемые физикой, такие, например, как острие обыкновенной швейной иглы, на конце все же чуточку закруглены. Теоретически, однако, можно представить себе гораздо более острое острие, получающееся, например, при вращении вокруг средней линии поперечного сечения опасной бритвы, лезвие которой является общей касательной двух ее вогнутых боковых сторон. Подобное острие невозможно абсолютно точно осуществить на практике, но в математике оно является вполне допустимым понятием. Можно рассмотреть также задачу о распределении электрического потенциала в пространстве, окружающем такое острие, и исследовать его поведение непосредственно около самого заострения.