Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда - [11]

Само по себе броуновское движение вовсе не было совсем неисследованной областью физики. Но в фундаментальных работах Эйнштейна и Смолуховского, посвященных этой проблеме, изучалось или поведение некоторой частицы в какой-то фиксированный момент времени, или же зависящие от времени статистические характеристики большой совокупности частиц, математические же свойства траекторий отдельных частиц никак не затрагивались.

В этом последнем направлении почти ничего не было известно, если не считать глубокого замечания французского физика Перрена, отметившего в своей книге «Атомы» (Les Atomes)[23], что крайне нерегулярные траектории частиц, совершающих броуновское движение, заставляют вспомнить непрерывные, нигде не дифференцируемые кривые математиков. В этом замечании говорится о непрерывности, поскольку частицы не совершают никаких мгновенных скачков, и о недифференцируемости, поскольку кажется, что ни в какой момент времени эти частицы не обладают точно определенным направлением движения.

В случае физического броуновского движения частицы, разумеется, не во все моменты времени сталкиваются с молекулами — за каждым столкновением следует какой-то промежуток времени, в течение которого никаких столкновений не происходит. Эти промежутки, однако, слишком малы, чтобы их можно было наблюдать каким-нибудь обычным способом. Естественно поэтому идеализировать броуновское движение, предположив молекулы бесконечно малыми, а столкновения — происходящими непрерывно. Именно такое идеализированное броуновское движение я и изучал, обнаружив при этом, что его свойства являются прекрасным суррогатом загадочных свойств истинного броуновского движения.

К моему удивлению и удовольствию, я убедился, что при таком понимании броуновского движения его формальная теория может быть доведена до высокой степени совершенства и изящества. В рамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что, за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории броуновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми.

Мне кажется, что в статьях, написанных мной по этому вопросу, впервые было раскрыто нечто совершенно новое — возможность комбинирования лебеговой техники интегрирования с физическими идеями Гиббса. Тем не менее статьи не содержали решения некоторых важных проблем, нужного для формального оправдания результатов Гиббса; такое решение лишь позже было получено в терминах, использующих понятие интеграла Лебега, Бернардом Купменом, Дж. фон Нейманом и Дж. Д. Биркгофом. Но это произошло лишь в 30-х годах, когда представление о том, что идеи Гиббса и Лебега вовсе не являются совсем чуждыми друг другу, уже не казалось столь неожиданным.

В период, когда я опубликовал свои первые статьи о броуновском движении, появились также исследования еще одного явления, которое также можно было бы описать в соответствии с моими работами. Это новое явление получило название дробового эффекта, и касалось оно прохождения электрического тока, состоящего из дискретного потока электронов, через проволоку или электронную лампу. Такой дискретный поток нельзя создать без того, чтобы в отдельные моменты времени проходящие электроны не сбивались бы в плотную кучу, а в другие — шли более редко. Эти нерегулярности, которые и составляют суть дробового эффекта, сами по себе очень малы, но их можно усилить и сделать вполне заметными при помощи ламповых усилителей. Поэтому такой «ламповый шум», или «проводниковый шум», является серьезным препятствием при использовании электрической аппаратуры, к которой приложена большая нагрузка.

В 1920 году очень малая часть электрической аппаратуры была нагружена в такой степени, при которой дробовой эффект принимал критическое значение. Однако дальнейшее развитие сперва радиовещания, а затем радиолокации и телевидения привело к тому, что дробовой эффект стал существенной заботой каждого радиоинженера. Дробовой эффект не только очень близок по природе к броуновскому движению (оба они являются результатом дискретности основных элементов физического мира), но и описывается математически той же самой теорией.

Так случилось, что мои работы по броуновскому движению через двадцать лет после опубликования оказались весьма полезны для инженеров-электриков. Однако при своем появлении и потом еще в течение долгого времени этот труд казался мертворожденным младенцем. Я долго собирался с духом, прежде чем за него приняться, и, наконец, летом в Страсбурге — об этом лете я буду рассказывать в следующей главе — написал первую статью. Математики тогда едва обратили на нее внимание.

К сожалению, прием, который ожидает в научном мире ту или иную работу, зависит не только от ценности ее содержания. Подчас гораздо более важным оказывается совсем другое. Например, то, какой интерес она представляет для ведущих специалистов соответствующей области. Непосредственно после первой мировой войны самыми значительными математиками в Америке были Веблен и Биркгоф. Веблен занимался главным образом топологией — одним из специальных разделов математики, о котором я уже говорил. Он считал своей миссией убедить всех, что эта абстрактная область представляет собой новую американскую математику; что же касается европейской науки, занимавшейся главным образом анализом, выросшим из дифференциального и интегрального исчислений, то, по его мнению, она отжила свой век и уже не может дать миру ничего интересного. Веблен действительно является создателем интересного и значительного раздела математики, но его беспокойство по поводу печального состояния анализа оказалось по меньшей мере преждевременным. Как бы то ни было, я чувствовал себя слишком тесно связанным со старыми традициями, чтобы принять новую веру.