Вселенная в зеркале заднего вида. Был ли Бог правшой? Или скрытая симметрия, антивещество и бозон Хиггса - [44]

Слово «Действие» — это очередной странный научный термин: вроде бы слово знакомое, но потом понимаешь, что его почему-то пишут все время с большой буквы (или, скажем, курсивом) и никогда не заменяют синонимом. Значит оно не то, что вы думаете. При ближайшем рассмотрении оказывается, что оно значит даже не то, что думал Мопертюи.

Чтобы понять, что такое действие, мне придется сначала сказать несколько слов об энергии. Речь об энергии заходила у нас уже неоднократно, и такое ощущение, что мы все время говорим о разном. И в самом деле, энергия бывает самых разных сортов, которые подпадают под несколько широких категорий.

Энергия покоя. Ядерный бензобак. Готова высвободиться в соотношении E = mc ².

Кинетическая энергия. Именно то, о чем вы думаете, когда (и если) думаете об энергии, в том числе энергия выпущенной пули, локомотива и летающих криптонцев.

Потенциальная энергия. Энергия взаимодействия; когда вы взбираетесь по лестнице и пыхтите, то не потому, что находитесь в плохой форме, а потому, что увеличиваете свою потенциальную энергию.

Создавать и уничтожать энергию невозможно, зато ее можно конвертировать из одной формы в другую. Крошечная разница в энергии покоя между четырьмя атомами водорода и одним атомом гелия производит колоссальное количество излучения. Выпрыгните из самолета — и ваша гравитационная потенциальная энергия превратится в поистине огромную кинетическую.

Энергия — это средоточие всей физики, и в 1834 году Уильям Р. Гамильтон сумел найти достойное применение трудам Эйлера и Лагранжа. Подобно тому как Ферма показал, что свет хочет минимизировать время в пути, принцип Гамильтона — такое название он получил — требует, чтобы частицы двигались так, чтобы минимизировать Действие Мопертюи, а для этого нужно немного подправить определения.

В сущности, действие — это среднее по времени от величины под названием лагранжиан. Да, я понимаю, я опять подсунул вам научный термин[57] — зато очень полезный. Возьмите совокупную энергию движения, отнимите совокупную энергию взаимодействия — и получите именно его:

Лагранжиан = кинетическая энергия — потенциальная энергия.

Запустите игрушечную ракету. Сначала у нее будет много-много кинетической энергии, а когда ракета достигнет максимальной высоты, это будет означать, что вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную. По пути вниз потенциальная энергия превращается обратно в кинетическую.

Иначе говоря, средний лагранжиан, то есть действие, равен нулю. Хотя пример с ракетой уже проще некуда, из него можно извлечь важный урок: действие будет минимальным, если приблизительно половина энергии расходуется в движении, а половина вкладывается в потенциал. Такова и есть цель: минимизируй действие — и получишь траекторию, которую проделают реальные ракеты (а также звезды и атомы).

Волшебство принципа Гамильтона состоит в том, что если удастся вычислить лагранжиан для какой-то системы — например, для движения ракеты, — можно просто применить подход Эйлера и Лагранжа для минимизации действия, а потом получить траекторию ракеты. Иначе говоря, если знаешь, каково взаимодействие энергий в системе, а следовательно, и лагранжиан, значит, ты знаешь абсолютно все необходимое, чтобы предсказать эволюцию системы в будущем.

А в результате принцип Гамильтона позволяет перекинуть мостик от принципа минимизации к «выведению» законов Ньютона. Именно для этого он, в сущности, и придуман. Казалось бы, зачем идти таким извилистым путем, чтобы прийти к результату, который мы и так уже знаем? Я постоянно проделывал это во время занятий механиков на младших курсах, даже не понимая, почему мы делаем именно так, а не иначе.

Лагранжиан ракеты

Этому, разумеется, есть технические причины. Принцип Гамильтона позволяет решать сложные задачи со строгими ограничениями, что было бы невозможно, если бы ими попытался заниматься непосредственно Ньютон, однако для нас у этого принципа есть и другое, более важное достоинство. И к нему вели все наши разговоры начиная с принципа Ферма.

Если есть симметрия, инвариантом остается именно лагранжиан, то есть, в сущности, все участвующие во взаимодействии виды энергии.

Вернемся к Нётер и к тому, что на самом деле означает ее теорема

На страницах этой книги я уже перечислил очень много симметрий, но ни разу не говорил о том, что же на самом деле должно быть инвариантом. Что же это такое, что не меняется, если смотреть в зеркало, переводить часы вселенной, обращать время вспять или взять и повернуть всю конструкцию?

Эмми Нётер докопалась до глубинной истины. Она поняла, что инвариант — это именно лагранжиан.

Нётер обнаружила, что одни манипуляции меняют энергию, а другие — нет. Например, если пропорционально увеличить всю вселенную, расстояние между двумя телами увеличится, а это снизит гравитационную энергию. Однако для особых видов симметрии вроде поворота, которые не изменяют энергию, а следовательно, и лагранжиан, как раз и вступает в силу соотношение, которое открыла Нётер: симметрия влечет за собой какую-то сохраняющуюся величину[58].

Например, законы физики сегодня в точности такие же, как вчера, а поэтому, согласно теореме Нётер, во вселенной сохраняется энергия.