Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - [111]
где в качестве различных компонент я расставил первые десять букв русского алфавита[125]. У такой треугольной таблицы как раз десять «слотов». Но таблица с пустотами – хрупкая, ажурная конструкция, да и за расстановкой пустых мест надо отдельно следить. Удобный способ действий состоит в том, чтобы вместо треугольника всегда пользоваться квадратом
в котором ровно столько же различных букв, потому что он получен из треугольника отражением. Дополнительно квадрат обычно укрепляют скобками. В таком виде мы и желаем видеть нашего Агента. Получившаяся квадратная таблица имеет размер 4 × 4 в точности по той причине, что наше пространство-время четырехмерно. Как и во всякой таблице, в этой есть столбцы и строки; каждая строка соответствует одному из измерений пространства-времени, и каждый столбец – тоже. Я буду придерживаться старомодного соответствия: последняя строка и последний столбец отвечают времени. Это, значит, буквы г, ж, и, к. Вообще буквы в этой и других похожих ситуациях – это обозначения для чисел, причем для чисел, которые могут быть различными в различных точках пространства и в различные моменты времени. И все вместе буквы абвгдежзик должны каким-то образом сообщать все необходимое про геометрию.
Самая простая геометрия – у плоского пространства-времени, того самого, которое появилось у нас на прогулке 5. Ему отвечают конкретные значения всех букв абвгдежзик, причем постоянные значения, т. е., в отличие от общего случая, не зависящие от точки в пространстве и не меняющиеся со временем (что едва ли удивительно: плоское пространство-время везде и всегда одинаково). И значения эти очень незамысловатые: буквы а, б, в равны единице, г – минус единице, а остальные шесть букв – нулю. Заменяя в таблице букву а на единицу и так далее, получаем таблицу вполне определенного вида
Три единицы отвечают трем направлениям в плоском пространстве, а присоединившаяся к ним минус единица – времени. Когда «десятикомпонентное гравитационное поле» имеет такой вид, никакой гравитации нет: пространство-время совершенно плоское. Немного странно, пожалуй, что отсутствие гравитации – это не все нули, ведь отсутствие большинства вещей – в широком диапазоне от денег до числа людей в комнате – обычно выражается числом нуль. Но здесь не так. Записанная таблица с тремя единицами и одной минус единицей – это самая простая, самая элементарная форма, какую только могут принимать абвгдежзик-таблицы в интересующем нас контексте Агента гравитационного взаимодействия.
Но что Агент в таком виде делает в плоском пространстве-времени?
Наследник Пифагора. Четыре ненулевых обитателя приведенной выше таблицы напоминают, как пользоваться теоремой Пифагорa[126]. Разумеется, все знают как и в напоминаниях не нуждаются, но в математике иногда требуется, чтобы и самые очевидные вещи были высказаны явно. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Посмотрим на первые две единицы из левого верхнего угла в приведенной таблице:
Первая единица здесь говорит: «Возьмите квадрат первого катета и умножьте его на меня» – т. е. на единицу. Вторая единица говорит: «Возьмите квадрат второго катета и умножьте его на меня» – снова, получается, на единицу. Вульгарным языком то же самое выражается как «пифагоровы штаны на все стороны равны»; равны друг другу эти две единицы – но это только пока мы в плоском пространстве, о чем автор прибаутки, возможно, не подозревал. После взятия квадратов катетов никто специально не говорит «Сложите то, что получится», но это и так все знают:
1 · (первый катет)>2 + 1 · (второй катет)>2 = (гипотенуза)>2.
Пифагор: квадрат каждого катета умножаем на единицу
Рис. 7.1.Слева: квадрат расстояния на плоскости равен a>2 + b>2. Справа: квадрат расстояния в пространстве равен a>2 + b>2 + c>2. (Здесь c не обозначает скорость света)
Единицы, взятые из таблицы, напоминают, что квадраты катетов надо брать с коэффициентами не полтора, три или две трети, а именно единица[127]. Тогда мы в точности находим гипотенузу, а это – расстояние между точками, как видно на рис. 7.1 слева. Если – скажем, в городе с прямоугольной сеткой улиц – у вас нет возможности пройти по прямой, чтобы измерить расстояние между двумя точками, но вы в состоянии измерить отрезки a и b, а угол между ними 90°, то ответ для расстояния – в теореме Пифагора.(рис. 7.1 слева). Все то же самое происходит и в трехмерном пространстве: длина отрезка на рис. 7.1 справа известна, как только известны длины a, b и c вдоль трех осей: нужно просто сложить их квадраты, т. е. вычислить a>2 + b>2 + c>2, что окажется равным квадрату искомой длины. Здесь тоже скрытым образом присутствуют три единицы – те самые, которые мы видим в левой верхней части приведенной выше таблицы:
Но далее к компании из трех единиц присоединилась минус единица. Она стоит на том месте (пересечение четвертой строки и четвертого столбца), которое отвечает времени. Если не останавливаться, а продолжать действовать по той же схеме «умножить на меня», а потом все полученное сложить, то из квадрата расстояния в пространстве придется вычесть
