Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [15]
В 1949 г. Капрекар установил, что число 6174 можно считать пределом последовательности следующих операций. Возьмем любое четырехзначное число, не все цифры которого одинаковы. Переставим его цифры так, чтобы получить наименьшее и наибольшее из возможных чисел. Вычтем меньшее число из большего. Если их разность равна 6174, процесс завершен. Если нет, повторим те же действия. В конце концов всегда получается 6174.
Попробуем проделать это с номером года, в котором я начал писать эту книгу, – 2009. Наибольшее число, которое можно образовать из этих четырех цифр, – 9200, а наименьшее – 0029. Вычтем 29 из 9200 и получим 9171.
Повторим эту процедуру: 9711 – 1179 = 8532.
Продолжим: 8532 – 2358 = 6174. Наши поиски завершены: в конце пути нас с самого начала поджидало число 6174.
На математическом языке 6174 называется «неподвижной точкой», что означает следующее: если мы подставим в этот процесс само это число, мы снова вернемся к нему же. Проверим: 7641 – 1467 = 6174. Действительно, дальше дороги нет; путешествие подошло к концу.
А что, если немного схитрить? Получится ли этот же фокус с числом, в котором есть три одинаковые цифры? Скажем, с числом 1112? Давайте попробуем.
2111 – 1112 = 999
Поскольку мы работаем с четырехзначными числами, запишем результат в виде 0999.
9990 – 0999 = 8991
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174
Вот мы и на месте.
Если кому-нибудь из вас остро требуется трудотерапия, можете попробовать проделать это с какими-нибудь другими числами.
Теперь у нас появилась превосходная возможность поставить свой собственный маленький математический эксперимент. Что получится, если использовать не четырехзначные, а трехзначные числа?
Попробуем, например, взять число 169.
961 – 169 = 792
Кстати, 169 = 13², а 961 = 31². Но не будем отвлекаться.
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 = 495
Мы пришли к неподвижной точке (проверьте, что это так!). Неужели мы открыли постоянную Капрекара для трехзначных чисел? Именно это мы и сделали! Если вы увлекаетесь алгеброй, вам не составит особого труда доказать это утверждение.
Перейдем к двухзначным числам. С ними-то все должно быть совсем легко, правда?
Начнем с одного из моих любимых чисел – 17.
71 – 17 = 54, 54 – 45 = 9, 90 – 9 = 81, 81 – 18 = 63, 63 – 36 = 27, 72 – 27 = 45, 54 – 45 = … Минуточку! Здесь мы уже были! Что происходит? На самом деле мы пришли к точке периодичности. Для двухзначных чисел неподвижной точки не существует.
А что получается с пятизначными числами? А с шестизначными?
Капрекар обнаружил, что некоторые числа обладают одним необычным свойством: если возвести такое число в квадрат, то получившееся число можно разбить на две части, сумма которых будет равна исходному числу. Эта концепция станет яснее, если привести несколько примеров:
Числа 9, 45, 999, 818 181 – и многие другие – относятся к сообществу «чисел Капрекара». Вы можете запустить на своем компьютере простую программу, которая познакомит вас со многими другими представителями этого сообщества.
Докажите, что числа 9, 99, 999 и 9999 – это числа Капрекара.
Найдите следующее число в последовательности: 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49…
Подумайте несколько минут. Если вы не сможете решить эту задачу, ответ можно найти в примечаниях в конце книги{13}.
Интересная особенность этой задачи заключается в том, что ее обычно бывает трудно решить почтенным математикам, потому что они углубляются в поиски сложных идей. Легче всего эта задача дается умным детям.
Капрекар заметил, что некоторые числа можно получить сложением меньшего числа с суммой его цифр, а для других чисел это оказывается невозможным. Например, число 40 можно получить этим методом, взяв 29 (2 + 9 = 11, 29 + 11 = 40). Но число 20 таким образом получить невозможно, с какого бы числа мы ни начинали (проверьте, так ли это).
Капрекар сформулировал критерий, по которому можно определить, какие числа невозможно получить при помощи этого метода[15]. Я не хочу лишать вас удовольствия самостоятельно воссоздать этот критерий. Дам лишь небольшой совет: найдите первое число, удовлетворяющее этому критерию, и попытайтесь вывести общее правило.
А теперь вернемся к нашему великому герою – Пифагору.
II. Пифагор на пляже
Представьте себе, что вы учитесь не в школе, а ходите на уроки на пляж. Здорово, правда? Именно так поступали пифагорейцы. Пифагор любил изображать числа шариками или камешками, выложенными на песке. По-разному располагая эти камешки, он придумал несколько математических формул и концепций.
Посмотрим на некоторые примеры.
Каждый, кто помнит хоть что-то из школьного курса, вероятно, может вспомнить и следующий закон: сумма n первых последовательных нечетных чисел, начиная с 1, всегда равна квадрату n.
Проиллюстрируем это утверждение:
1 + 3 = 4 = 2²;
1 + 3 + 5 = 9 = 3²;
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
и так далее.
Те, кто продолжал углубленно изучать математику в старших классах, вероятно, знают, что этот закон можно доказать при помощи концепции, которая называется математической индукцией.
