Волшебный двурог - [140]

— 407 —

равны у. Совершенно так же FG, KI, IH… равны z. Ясно, что треугольник GAF равнобедренный. Угол при вершине А ранен одной пятой ста восьмидесяти градусов, так как он вписанный и опирается на дугу, равную одной пятой окружности. Ясно?

— Ясно, — отвечал Илюша.

— Следовательно, в этом углу ровно тридцать шесть градусов. Другие два угла треугольника равны друг другу и, следовательно, будут по семьдесят два градуса, то есть вдвое больше угла при вершине А. Стало быть, величины у и z суть боковая сторона и основание равнобедренного треугольника, у которого угол при основании вдвое больше угла при вершине. Теперь мы займемся треугольником BFA. Угол при вершине F нам известен: он равен семидесяти двум градусам. Угол при вершине В по тем же основаниям, что и угол A в треугольнике GAF, равен тридцати шести градусам. Угол треугольника BFA при вершине А равен семидесяти двум градусам, ибо это вписанный угол и опирается на дугу в дне пятых окружности. Ясно, что и этот треугольник тоже равнобедренный, а в силу равенства углов подобен предыдущему. Сторона BF равна (z + у), а следовательно, сторона АВ тоже равна (z + y), а это ведь сторона выпуклого пятиугольника. Теперь возьмем третий треугольник — ABD. Угол при вершине D равен снова тридцати шести градусам. Треугольник этот тоже равнобедренный и подобен двум предыдущим. Его боковая сторона равна (2y + z), основание равно (у + z). Из этих величин и подобия треугольников мы получаем теперь следующие пропорции:

(y + z) / ( 2у + z) = y / (y + z) = z / у

Пусть каждое из этих отношений равно х. Все ясно?

— Да, — ответил Илюша. — Треугольники подобны, а как получаются пропорции, я понял. Везде взято отношение основания к боковой стороне. Так как треугольники подобны, то отношение это во всех случаях одно и то же.

— Если мы теперь посмотрим на прямую BF, которая равна (у + z), то заметим, что точка G делит этот отрезок так, что весь отрезок относится к большей своей части, как относится большая часть к меньшей. Это деление и называется со времен глубокой древности золотым сечением.

— Ах, так вот почему вы ее называете Златоиссеченной! — вскричал Илюша.

— Именно поэтому! Но если у вас хватит терпения, то я могу вам еще рассказать насчет этой звезды немало интересного. Ибо это еще не все.

— 408 —

— Рассказывайте, — попросил Илюша. — Ведь сколько раз я ее видел, и даже в голову не пришло, что наша Красная Звезда такая знаменитая в геометрическом мире.

— Так вот, слушайте дальше. Если мы впишем в круг правильный выпуклый десятиугольник, то его сторона будет равна нашей величине х, помноженной на радиус большого круга, потому что если мы соединим концы одной из сторон десятиугольника с центром круга, то получим равнобедренный треугольник, угол при вершине которого, очевидно, равен тридцати шести градусам, то есть десятой части всей окружности. Боковые стороны равны радиусу описанного круга,

— 409 —

а основание — стороне десятиугольника. Следовательно, углы при основании будут иметь по семьдесят два градуса, и этот треугольник будет подобен только что рассмотренным. А если это так, то, следовательно, отношение стороны десятиугольника к радиусу снова равно тому же х. Ну, а теперь я посоветую вам, юноша, проделать еще кое-что своими собственными силами для того, чтобы ознакомиться поближе с Златоиссеченной Звездой. Согласны ли вы на это?

— Ну еще бы! — воскликнул Илюша. — Вполне согласен.

— Тогда вот что. Опишите круг около маленького пятиугольничка FGHIK (чертеж на странице 407) и найдите, как относится его радиус OG = r к радиусу большого круга OB = R.

Далее проведите прямые ВК и OG и из двух новых треугольников BKI и BGO попробуйте получить вот такое равенство:

R² + R²x² = (y + z)²

Что означает это равенство? Ясно, что R есть, во-первых, радиус описанного вокруг пятиугольника круга, а во-вторых, сторона вписанного шестиугольника. Поскольку мы ранее выяснили, что сторона правильного десятиугольника так относится к радиусу, как z к у, то, следовательно, эта сторона есть Rx.

Наконец, величина (у + z) есть не что иное, как сторона выпуклого пятиугольника. Следовательно, это наше равенство означает, что сумма квадратов длин сторон вписанных шестиугольника и десятиугольника равна квадрату длины стороны вписанного пятиугольника. И, сопоставляя это с известной вам теоремой Пифагора, мы можем утверждать, что стороны шестиугольника и десятиугольника могут быть сторонами прямоугольного треугольника, у которого гипотенузой будет сторона пятиугольника. Вы можете очень легко это проверить, вспомнив, что стороны этих вписанных многоугольников, будучи определены через радиус, равны:

Вот какие интересные выводы можно сделать из рассмотрения нашей Звезды. Что касается самого отношения золотого сечения, то оно примерно равно 0,618. Немало исследователей утверждало, что это самое приятное для глаза соотношение и что очень многое в природе, живописи, скульптуре и архитектуре строится именно по этому отношению.

— Конечно, эту Звезду очень приятно видеть, — сказал Илюша.

— Вполне с вами согласен, — отвечал Мнимий, — ибо это мудрый символ чистого и справедливого отношения.