Волшебный двурог - [139]
Этот круг единичного радиуса для изготовления нашей Златоиссеченной Звезды надлежит разделить на пять частей. Это все равно, что решить уравнение
х>5 — 1 = 0
или найти все пять корней пятой степени из единицы. Мы уже решали при прошлой нашей встрече в Схолии Седьмой нечто в этом роде, разлагая на множители разность кубов x>3 — 1. Приступая к извлечению всех корней пятой степени из единицы, мы попросим нашего друга Вектора нам их найти.
Ну-ка! Против часовой стрелки кругом марш!
Вектор стал сперва на нуль, затем повернулся и стал примерно на половине второго квадранта круга. Потом начал поворачиваться далее и остановился в начале четвертого квадранта. Затем двинулся снова вперед и остановился в первом квадранте. Двинулся еще раз и остановился в третьем квадранте.
— Трудно понять! — сказал со вздохом Илюша.
— Не так уж трудно, — отвечал Мнимий Радиксовнч. — Стоит для этого только рассмотреть, как меняется наш аргумент. Он будет:
φ = 0; 2π; 4π; 6π; 8π,
то есть мы прибавляем к нулю четыре раза по 2π, или по триста шестьдесят градусов. А теперь какие векторы получатся после деления аргумента? А вот они:
I) cos 0° + i sin 0° (φ = 0°)
II) cos 2/5π + i sin 2/5π (φ = 144°)
III) cos 4/5π + i sin 4/5π (φ = 288°)
IV) cos 6/5π + i sin 6/5π (φ = 432°)
V) cos 8/5π + i sin 8/5π (φ = 576°)
— 405 —
Очевидно, что углы их будут: 0°, 72°, 144°, 216° и 288°. Мы попросим теперь Вектора повторить его путешествие по кругу и останавливаться каждый раз у всякого деления.
Вектор исполнил все, что ему велели. При этом вместо одного вектора их оказалось пять. Окружность была разделена ровно на пять частей.
— Теперь проведем прямые! — сказал Мнимий.
Он соединил точки прямыми, и получился правильный пятиугольник, вписанный в круг. Тут Илюша вспомнил, как ему говорили, что если разложить разность кубов на три множителя, то тем самым выяснится, как вписать треугольник в круг. Вот, оказывается, в чем дело!
— Кстати, — добавил с мягкой улыбкой Мнимий, — заметьте, что именно великий Гаусс указал и нашел, что такое деление круга связано с построением правильных многоугольников!
— Вон как! Это, значит, важное дело?
— А как вы думаете! — рассмеялся Мнимий. — Однако, — произнес он, осмотрев еще раз свой чертеж. — Пожалуй, придется немного увеличить, да надо еще наш пятиугольник повернуть, чтобы и он стал симметрично. Ну-ка, ребятки-векторы, увеличьтесь разика в два с половиной да, кстати, повернитесь на восемнадцать градусов!
Немедленно все пять векторов вытянулись и стали длиннее в два с половиной раза. Вместе с ними, конечно, увеличился пятиугольник и повернулся на 18°. В то же мгновение «Круг № 1» стал «кругом № 2».
— Это, — пояснил Радикс, — тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент — восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.
— Совершенно справедливо! — отвечал Мнимий. — Преобразования подобия — это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед-Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?
— Ну да, помню, — отвечал Илюша. — А что?
— Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?
— Как так?
— 406 —
— Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель — превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.
— Вот как?.. — задумчиво произнес сбитый с толку Илюша. — А если наоборот, из мыши сделать льва?
— Вон чего захотели! — засмеялся Мнимий. — Это будет немного потруднее. Сам Галилей это признал. Дело в том, что если мышь подобно преобразить в такого большого зверя, как лев, то она… сломается! Ее тонкие косточки не выдержат тяжелого веса. Механическое подобие — вещь совсем не простая… Ну, а теперь приступим к сооружению Златоиссеченной Звезды. Соединим прямыми противолежащие точки.
Когда Мнимий начертил это, то в круге получился звездчатый пятиугольник. И все векторы исчезли.
— Позвольте, — воскликнул Илюша, — да ведь это наша Красная Звезда!
— Она же и Золотая, — улыбаясь, ответил Мнимий.
— Ну да, и Золотая! Но вы-то почему ее называете Златоиссеченной?
— Для этого, — ответил Мнимий, — у нас имеются серьезные причины. Если мы рассмотрим нашу звезду повнимательнее, то найдем в ней немало вещей, в высшей степени глубоких и поучительных.
Мнимий расставил буквы у углов и получил чертеж, который нарисован на этой странице.
— Если мы возьмем одну из прямых, — начал Мнимий, — составляющих наш звездчатый пятиугольник, например прямую BGFE, то ясно из чертежа, что отрезки BG и FE равны между собой, ибо треугольники BGA и AFE равны. Теперь мы назовем каждый из этих отрезков буквой у, а отрезок KF буквой z. Очевидно, что и остальные схожие отрезки таковы же, то есть GA, FA, FE, КЕ, ID, IС, … , и все они
