Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [30]

Фон Нейман закончил работу по аксиоматическому обоснованию квантовой механики в одиночку. Он сделал это в период с 1928 по 1932 год, опубликовав серию из пяти статей и монументальный трактат «Математические обоснования квантовой механики». Чтобы придать прочную математическую основу квантовой теории, он отказался от использования дельта-функций Дирака и от предпочтения интегральных уравнений Гильберта. У него было другое оружие: функциональный анализ. Он создал абстрактное аксиоматическое обрамление, гильбертово пространство, которое включало в себя частные матричный и волновой случаи.

«ОСНАЩЕННЫЕ» ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Квантовая механика фон Неймана, безупречная для математиков, столкнулась с тем, что физики предпочитали квантовую механику Дирака, которая оказалась более полезной, несмотря на отсутствие строгости. Благодаря работам Лорана Шварца и Александра Гротендика по функциональному анализу, в 1950-1960 годы дельта-функции приобрели статус математической природы, формализовавшись как обобщенные функции, или распределения. Так формализм Дирака перестал быть математически подозрительным, поскольку вошел в состав «оснащенных»гильбертовых пространств (или триплетов Гельфанда). Идея состоит в том, чтобы связать лучшее в формализме фон Неймана (строгое гильбертово пространство) и лучшее в формализме Дирака (полезная дельта-функция) внутри одной непротиворечивой математической структуры. С этой целью пытаются пойти дальше гильбертова пространства и включить такие своеобразные объекты, как дельта-функция, но не теряя в то же время хорошей геометрии гильбертова пространства. Решение заключается в рассмотрении структуры вокруг пространства, следуя духу теории распределений: взять обычное гильбертово пространство и оснастить его двумя другими пространствами — одним поменьше и другим побольше, — которые содержат соответственно все хорошие функции (тестовые функции) и все плохие функции (своеобразные функции, такие как δ Дирака). Множество из этих трех пространств называют«оснащенным»гильбертовым пространством, или триплетом Гельфанда.

Математические пространства, на которых были построены матричная и волновая механика, были очень разными: одно было дискретным и алгебраическим, другое — непрерывным и аналитическим. Как убедился фон Нейман, нет ничего удивительного в том, что их унификация не может быть достигнута без некоторого насилия над формализмом и математикой. Однако он заметил, что пространства функций, определенных в них, были в основном идентичными. Состояния атома были представлены в матричной механике посредством последовательностей чисел суммируемого квадрата, так что функциональное пространство, которое стояло за этим, было i₂, то есть гильбертовым пространством по определению. Волновые функции волновой механики всегда относились к интегрируемому квадрату, то есть принадлежали функциональному пространству L_r И для этих двух пространств действовала теорема Фишера — Риса, хорошо известная математикам с 1907 года и гласящая, что оба эти пространства изоморфны. Так фон Нейман решил головоломку математической эквивалентности квантовых механик, показав, что механика Гейзенберга (сосредоточенная на матрицах и суммах) и механика Шрёдингера (сосредоточенная на функциях и интегралах) математически эквивалентны, поскольку являются вычислениями в двух изоморфных, идентичных гильбертовых пространствах.

До этого времени под гильбертовым пространством понималось одно из двух конкретных пространств £₂ или L_r Фон Нейман первым задумал абстрактное гильбертово пространство в современном его понимании. Избегая конкретных представлений, он работал с понятиями, полученными из аксиом, и пришел к распространению спектральной теории Гильберта в соответствии с квантовыми потребностями.

Гильберт еще в начале века установил основы пространства бесконечной размерности. Но волей судеб такая абстрактная математическая теория, задуманная с опережением в 20 лет, подошла к замку квантовой механики. С тех пор математическая структура квантовой физики сопряжена с гильбертовым пространством. Описание состояния квантовой системы делается через вектор этого пространства. И физические величины изучаются с помощью операторов, определенных в гильбертовом пространстве. В результате появления квантовой механики теория гильбертовых пространств оказалась аксиоматически обоснованной, чему Гильберт был свидетелем.

ГЛАВА 4 Кризис оснований

С развитием математической логики и теории множеств удалось приблизиться к понятию, которое до той поры казалось бесполезным, — бесконечность. Но при этом углубилась трещина, проходящая по основанию математики. Наличие многочисленных парадоксов показало, что здание математики построено на песке. Тогда математики включились в гонку переоснования своей науки. Некоторые ученые встали на сторону логицизма Фреге и Рассела, другие разделились на две непримиримые группы: лидером интуиционистов стал Брауэр, а формалистов возглавил Гильберт.

В 1920 году Гильберт направился в беспокойные воды оснований математики и до конца карьеры развивал исключительно эту область. В некоторой степени ученый с удвоенными усилиями возобновил свое исследование оснований математики, хотя на этот раз он был немного более амбициозен, чем 20 лет назад. Он действовал не в одиночку. Его верными оруженосцами стали Пауль Бернайс (1888-1977), один из его ассистентов в Гёттингене, и Вильгельм Аккерман (1896-1962), преподаватель средней школы, его бывший ученик (Гильберт отказался дать ему должность в университете, узнав, что тот намеревается обзавестись семьей, поскольку, по его мнению, это отвлекло бы его от исследовательской деятельности). Важной составляющей этой работы в долгий межвоенный период стали оживленные дискуссии немецкого математика и его ближайших коллег с виднейшими европейскими математиками, которые придерживались противоположных взглядов.