Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [27]

Где заканчивается свобода в математике?

Здесь стоит ненадолго остановиться. Мы уже достаточно подкованы в математике, чтобы не просто с умным видом поиздеваться над ошибкой журналистов и доверчивостью чиновников, а разобраться в том, что именно произошло. Речь в статье шла о долях, при этом использовались суммы величин, которые могут быть и отрицательными. Что же здесь не так? Ведь долю, то есть рациональное число, можно вычислить от величины любого знака. Здесь нам опять пригодится понятие меры.

Доли, или удельный вклад, имеет смысл вычислять от величины, относящейся к мерам — аддитивной и неотрицательной. Говоря в предыдущей главе о мере как функции над множествами, мы упоминали требование ее неотрицательности, но не заостряли на нем внимание. Само понятие меры появилось как расширение таких категорий, как количество, длина или объем, а эти величины, очевидно, не могут быть отрицательными. Но что случится с нашим определением, если мы разрешим мере быть отрицательной? Может, тем самым мы расширим это понятие и оно станет еще полезнее? Расширили же мы понятие вероятности, введя условную вероятность. Бытует мнение (особенно среди «практиков», инженеров и программистов), что математики изобретают аксиомы и изменяют определения по мере необходимости. Что это вопрос практичности, договоренностей либо даже вкуса. Нет, ребята, математика так не работает.

Приведу два примера, из которых станет ясно, что аксиомы не придумываются. В главе 1, рассматривая петли на наушниках, мы указали, что они образуют группу с операцией сложения, соответствующей нанизыванию их на одну веревку. Для любой группы должны выполняться четыре аксиомы: замкнутость операции группового сложения, ее ассоциативность, наличие единственного нуля (нейтрального элемента), наконец, наличие обратного элемента. А почему мы ничего не говорим о коммутативности сложения (о том, что a + b = b + a)? Легко убедиться в том, что для наших петель, как и для чисел, это свойство выполняется. Кроме того, мы сразу сказали, что ноль — нейтральный элемент, независимо от порядка сложения с ним: (0 + a = a + 0 = a). Раз это должно работать для нуля, почему это не может работать для всех элементов группы?

Дело в том, что коммутативность не вытекает из четырех аксиом группы. Легко найти некоммутативную группу, классическим примером будут движения на плоскости. Если рассмотреть два движения: поворот относительно некой опорной точки и смещение вдоль какого-то вектора, — то результат будет зависеть от порядка этих движений. Убедиться в этом легко, перемещая лист бумаги по поверхности стола. Почему же сложение с нулем должно быть коммутативно? Это требование ассоциативности, а именно выполнения равенства: (a + 0) + b = a + (0 + b). Если бы сложение с нулем зависело от того, справа или слева он находится, то ассоциативность перестала бы работать для всех элементов группы. Эти два свойства не могут идти по отдельности. В то же время добавление свойства коммутативности согласуется с определением группы и расширяет ее до так называемой абелевой группы. Я помню, как был сначала озадачен, а потом восхищен тем, что коммутативность сложения для чисел не вводится искусственно, а может быть выведена из базового определения операции сложения.

Приведу еще один пример, который, возможно, примирит кого-то с диктатурой в математике. Помните школьное правило: «на ноль делить нельзя»? А почему, кто это запретил? Кроме того, теперь мы достаточно грамотны, чтобы уточнить вопрос: что такое «ноль», на который нельзя делить? Тот ли, который оказывается нейтральным элементом при сложении, или речь о каком-то ином объекте? Сразу скажу: да, тот самый, поскольку он, по определению группы, единственный[19]. Более или менее искушенный в математике читатель скажет, что в пределах алгебраической структуры, которая называется полем чисел (рациональных или вещественных, именно их мы проходим в школе), не существует делителей нейтрального элемента по сложению, они просто не содержатся во множестве этих чисел. Можно добавить, что при умножении на ноль — как на поглощающий элемент для этой операции — мы полностью теряем информацию о втором множителе, подобно тому, как тень на стене не содержит полной информации о форме или цвете трехмерного объекта, отбрасывающего ее. Так что произвести операцию, обратную умножению, то есть деление, у нас в этом случае не получится.

Но можно ведь искусственно дополнить множество чисел специальными элементами — делителями нуля. Дополнили же когда-то множество рациональных чисел, привычных нам дробей, иррациональными, такими как √2, — чтобы можно было рассуждать о длине диагонали единичного квадрата или возведении в рациональные степени. Более того, в шестом классе, когда мы эти корни вводили, нас учили, что квадратный корень из отрицательного числа взять невозможно. Но потом, в десятом классе, множество вещественных чисел расширили до комплексных, дополнив его мнимой единицей. И вот, пожалуйста, невозможное стало возможным. Так в чем проблема с делением на ноль?

Дело в том, что и рациональные, и вещественные, и комплексные числа построены так, что все они образуют поля, при этом вся арифметика в них согласована. Но если искусственно ввести нетривиальные делители нуля, то получится иная арифметика, своеобразная и не согласующаяся с привычной нам со школы алгеброй полей. Алгебраическая структура, на которой определены сложение и умножение, а также своеобразное деление для всех элементов, включая ноль, называется