В поисках бесконечности - [57]

Приведем еще мнение по этому вопросу академика А. Н. Колмогорова:

"Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным".

Проигранное пари.

Нам осталось рассказать об одной попытке вывести теорию множеств, а с нею и всю математическую науку из затянувшегося состояния кризиса. Ее предпринял в 1907 г. Брауэр, который в значительной степени опирался на мнения, неоднократно высказывавшиеся Кронекером и Пуанкаре. По мнению Брауэра и его последователей, начиная с XVII столетия в математическом анализе и геометрии совершенно игнорировался особый характер понятия бесконечности. Поэтому они считали, что слывшие строгими методы теории действительных чисел и математического анализа, введенные в математику учеными XIX в., не только не достигали поставленных перед ними целей, но привели к созданию разработанной системы, основанной на совершенно ошибочной тенденции обращаться с бесконечностью с помощью средств, выработанных для конечных совокупностей. Тем самым отвергалась в целом вся концепция математики, шедшая от Коши, Вейерштрасса и Кантора.

Брауэр и его школа полагали, что эта концепция действительного числа и функции лишь маскирует опасности, таящиеся в понятии бесконечности, изобилует порочными кругами в рассуждениях и претендует на чрезмерную общность, что неизбежно приводит к противоречиям. Тем самым полностью отвергался прогресс в деле укрепления основ классической математики, достигнутый в XIX в., а канторовская теория множеств рассматривалась как "любопытный патологический казус" в истории математики, от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас. Особенно интересно во всем этом то, что сам Брауэр имел значительные достижения в области теоретико-множественной математики.

Чтобы поставить математику на правильный, по их мнению, путь, надо было опираться на интуицию — отсюда идет и название этого направления в науке — интуиционизм. Интуиционисты отказывались рассматривать континуум как множество, состоящее из точек, поскольку считали понятие континуума более первичным, чем понятие точки. Они говорили, что континуум — это среда свободного становления точек, а не множество точек.

Придирчивой критике интуиционисты подвергли самую логику, которой пользовались все математики XIX в., да и предшествующих столетий. В частности, они категорически отвергли один из основных законов аристотелевой логики, а именно закон исключенного третьего, который состоит в том, что любое высказывание является либо истинным, либо ложным. По мнению интуиционистов, этот закон был выведен из наблюдений над конечными совокупностями предметов и имеет место лишь для утверждений, касающихся таких совокупностей. Например, чтобы убедиться в истинности высказывания: "Среди людей, проживавших на земном шаре 1 января 1983 г., не было двухсотлетних", достаточно проверить возраст каждого человека, жившего в этот день. Но такой метод проверки не годится для выяснения свойств элементов бесконечных множеств — эти элементы не построишь в ряд и не устроишь поголовную проверку документов.

Таким образом, из арсенала интуиционистов выпало столь сильное средство доказательства, как доказательство от противного. Они отвергали "чистые доказательства существования" и требовали каждый раз предъявления конкретного примера объекта, обладающего данным свойством. Иными словами, в качестве доказательства существования чего-либо они принимали лишь описание конструкции соответствующего объекта. Германн Вейль, примкнувший к движению интуиционистов, сравнивал конкретные утверждения с сокровищами, а теоремы существования — с бумагами, содержащими указания, где надо искать сокровища. Доведение теоремы существования до конструкции завершало поиск сокровища.

Иными словами, интуиционисты требовали от утверждений вида "существуют четные числа" переходить к утверждениям "число 2 — четное".

В одном из докладов об интуиционизме Брауэр привел в качестве примера утверждения, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, следующее: "В десятичном разложении числа я идут десять цифр 9 подряд". В те времена было известно лишь 707 десятичных знаков для я (да и то большая часть из них оказалась неверной). Сейчас с помощью ЭВМ найдено неизмеримо больше десятичных знаков для π, так что среди них уже есть, быть может, идущие подряд 10 девяток. Но если заменить число 10 на 10¹⁰⁰⁰, то можно быть уверенным, что задача вычисления необходимого для проверки нашей гипотезы количества десятичных знаков окажется неразрешимой для любых машин, которые когда-либо будут построены. А так как теоретически решить проблему тоже невозможно, то утверждение о наличии в десятичном разложении числа n 10¹⁰⁰⁰ идущих подряд девяток заведомо непроверяемо. Правда, один из математиков, присутствовавших на докладе Брауэра, сказал, что хотя мы и не знаем, верно это утверждение или нет, но господь-бог знает. "Я не имею прямой связи с богом",- сухо возразил Брауэр.

Вся математика получила в руках интуиционистов иной вид. Например, в их анализе нет разрывных функций, а в их арифметике из равенства нулю произведения еще не следует обращение в нуль хотя бы одного из множителей. Вообще, почти каждое утверждение классической математики приходилось заменять весьма непривычно звучащим интуиционистским аналогом, а от многого надо было отказаться. "Я не считаю неприкосновенными все теоремы из обычных учебников",- заявил интуиционист Сколем.