В поисках бесконечности - [51]

Образуем теперь множество A, элементами которого являются все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в этом определении нет ничего плохого; не видно, почему фраза "множество всех ординарных множеств" хуже, чем фраза "множество всех треугольников". Но на самом деле здесь возникает серьезное логическое противоречие. Попробуем выяснить, каким же является само полученное множество A — ординарным или экстраординарным. Если оно ординарно, то оно входит в себя как один из элементов (мы ведь собрали вместе все ординарные множества). Но тогда, по определению, оно является экстраординарным. Если же множество A экстраординарно, то по определению экстраординарности оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множества A есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы не брали!

Получилось логическое противоречие — множество A не может быть ни ординарным, ни экстраординарным. Впрочем, такие логические противоречия возникают и в гораздо более простых случаях. Например, одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.

Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а лучше сказать — совсем неопределенным. Например, пусть множество A состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова "нуль", "один", "два" и т. д.).

Так как множество всех русских слов конечно (для простоты будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их грамматические формы), то и множество таких чисел конечно. Пусть это будут числа r₁, r₂,..., r_N. Определим теперь рациональное число r следующим образом:

r = 0, n₁, n₂, ..., n_N.

где n_i (i-й десятичный знак числа r) равен 1, если i-й десятичный знак числа r_i отличен от единицы, в противном же случае n_i = 2.

Число r не совпадает с r₁, так как отличается от него первым десятичным знаком, не совпадает с r₂, так как отличается от него вторым десятичным знаком, и т. д. Поэтому число r не входит в множество A. Между тем это число определено нами при помощи не более чем двухсот слов.

С этим парадоксом тесно связан следующий.

Каково то наименьшее целое число, которое нельзя определить при помощи фразы, имеющей менее ста русских слов?

Такое число существует, поскольку число слов в русском языке конечно, а значит, есть числа, которые нельзя определить фразой, имеющей менее ста слов. Но тогда среди этих чисел есть наименьшее.

С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно определяется фразой из менее чем ста слов, напечатанной выше курсивом, а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным образом.

А вот более сложный пример конечного множества, относительно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском языке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само обладает свойством, описываемым этим прилагательным, а ко второму — все остальные прилагательные. Например, прилагательное "русское" отнесем к первому классу, так как слово "русское" принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу отнесем и прилагательное "пятисложное", так как в слове "пятисложное" именно пять слогов. А прилагательное "немецкое" отнесем во второй класс, так как слово "немецкое" входит в словарный состав русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово "односложное", так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же попадет и слово "синее", так как это слово само цветом не обладает, а только выражает некоторый цвет.

Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное нашло свое место. Но, для того чтобы отличить полученные два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все прилагательные первого класса автологичными (от греческих слов авто — сам и логос — смысл, закон), а прилагательные второго класса гетер о логичными (гетерос — другой). Слова автологичный и гетерологичный являются прилагательными, и их надо разместить по нашим классам. Со словом автологичный трудностей не возникает — его надо отправить в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем свойством, которое само выражает,- ведь в первом классе собраны именно автологичные слова. А вот слово гетерологичный доставляет те же трудности, что и взводный парикмахер.

Это слово нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда слово гетерологичный должно было бы само обладать выражаемым им свойством, а оно заключается в том, что этому слову надлежит быть не в первом, а во втором классе. Нельзя отнести слово гетерологичный и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть автологичным, в то время как второй класс не содержит авто логичных слов.