В поисках бесконечности - [3]

"Как число песку на бреге морском".

В древности философия, естествознание и математика были столь родственны, что ими, как правил о, занимались одни и те же люди. Например, Фалес не только философствовал о беспредельном и предсказывал затмения, но и первым начал доказывать геометрические теоремы, а создателем крупнейшей и влиятельнейшей философской школы в VI в. до н. э. был Пифагор, которому предание приписывает доказательство знаменитой теоремы о прямоугольном треугольнике.

Пифагор учил, что "все есть число", причем некоторые числа (1, 4, 7, 10) играли в его миропонимании особую роль. Впрочем, мнение о мистической роли числа 7 возникло еще у древних шумеров задолго до того, как в Греции начала развиваться математика. В их мифах можно встретить семь духов бурь, семь злых болезней, семь областей подземного мира, закрытых семью дверями, и т. д. Семь небесных тел перемещались по небосводу. А неведомый греческий философ, современник Фалеса и Анаксимандра, учил, следуя шумерам и вавилонянам, что все должно и по внешней форме и по своей внутренней сущности проявлять число 7, и насчитывал семь сфер Вселенной (сферы чистого эфира, звезд, Солнца, Луны, воздуха, воды и земли). Некоторые ученые думают, что мистическая роль семерки связана с тем, что когда-то люди умели считать только до шести, а число семь заменяло понятие много (ведь и сейчас мы говорим "семеро одного не ждут", "семь раз отмерь, один раз отрежь", "один с сошкой, семеро с ложкой" и т. д.).

Но выражать очень большие числа не могли ни египетские, ни греческие ученые, так как не владели идеей позиционной записи чисел. Вавилоняне же, которые владели этой идеей, относились к математике слишком утилитарно, чтобы заниматься такими далекими от практики вопросами, как, например, подсчет числа песчинок на берегу моря. Любопытно, что согласно древнеегипетским "Текстам пирамид" перевозчик в загробном мире экзаменует душу умершего царя и проверяет, умеет ли она считать до десяти. На это он получает стихотворный ответ, в котором по порядку перечисляются все пальцы. Это, несомненно, отголосок гораздо более древнего времени, когда даже умение считать на пальцах казалось чем-то граничащим с магией.

И когда люди уже научились выражать числами количество воинов в армии или хлебов, необходимых для прокормления рабов, которые возводили колоссальные храмы и пирамиды, они еще не знали чисел, носящих сейчас названия миллиард, триллион, квадрильон и т. д. Чтобы дать представление о громадных числах, они прибегали к сравнениям: "сколько песка и пыли", "как число песку на бреге морском", "как вес горы, взвешенной на весах", "как листьев на деревьях". Но самый лучший тогдашний ученый не смог бы сказать, например, чего больше:

песчинок на морском берегу или листьев в лесу.

В Древней Греции метод называния очень больших чисел был создан Архимедом лишь в III в. до н. э.( то есть через два с половиной столетия после того, как философы начали обсуждать понятие беспредельности. В сочинении "Псаммит" ("Исчисление песчинок") он развил систему счисления, позволявшую называть числа до 10^8*1016. Насколько громадно это число, видно из того, что всю нашу Метагалактику можно было бы плотно набить не более чем 10¹⁵⁰ нейтронами. Если записать число Архимеда в десятичной системе счисления по 400 цифр на каждом метре бумажной ленты, то луч света шел бы вдоль такой ленты около восьми суток.

Но как ни громадно число Архимеда, оно все же, как и все числа, конечно. Записать весь бесконечный ряд натуральных чисел невозможно даже на ленте, смотанной в клубок размером со всю нашу Метагалактику. Нельзя записать его и на ленте, смотанной во столько подобных клубков, каково число Архимеда.

Тягу к большим числам испытывали и древние обитатели Индии. В их сказаниях рассказывается, например, о битвах, в которых приняло участие 10²³ обезьян, об испытаниях Будды, в ходе которых он называл громадные числа, и о многих таких же вещах. Веселой игре с числами не мешало то обстоятельство, что вся Солнечная система по смогла бы вместить столько обезьян — в ней находила свое воплощение идея о бесконечности, завораживавшая не только греков, но и индийцев. И Архимед, и индийские математики испытывали восторг от мысли, что создано символическое исчисление, позволяющее на небольшой восковой дощечке или листе папируса выразить столь необъятные числа и выйти за пределы данного наглядным созерцанием.

Загадочные апории [6] .

Идея бесконечности проникала в науку не только в связи с вопросами о том, есть ли границы у Вселенной, и было ли начало, и будет ли конец мира. Одним из самых жгучих вопросов, над которым билась мысль древнегреческих философов, явилось устройство мира в малом. Повседневный опыт учил, что вынутый из печи хлеб можно разделить между двумя, тремя, от силы десятью участниками трапезы, а если раскрошить его, то получится все же не более мириады, то есть десяти тысяч крошек. Можно ли делить далее этот хлеб, есть ли вообще предел для делимости материальных предметов на части? Ответить на этот вопрос, опираясь только на опыт, было невозможно. Здесь речь шла о столь мелких частицах, что разглядеть их не смог бы и сам рысьеглазый Линией, легендарный впередсмотрящий на корабле аргонавтов. Поэтому вопрос о пределе делимости вещей перешел из сферы опыта в сферу умозрительных рассуждений.