Учение о бытии - [87]

из многих, так как одни в нем не сняты, а суть в нем, положенные лишь вместе с исключающею границею, относительно которой они безразличны. Но не такова она относительно них. При «существовании» отношение к нему границы выяснилось прежде всего так, что существование, как утвердительное, остается по сю сторону своей границы, а последняя, отрицание, находится вне, на своем краю; равным образом при многих одних перерыв их и исключение других одних является некоторым определением, падающим вне включенных одних. Но там уже выяснилось, что граница проникает существование, простирается так же далеко, как оно, и что поэтому «нечто» по своему определению ограничено, т. е. конечно. Так в количественном отношении число, например, сто, представляют так, что только сотое одно ограничивает многие таким образом, что они составляют сотню. С одной _{127}стороны это справедливо; но с другой стороны из сотни одних ни одно не имеет преимущества пред другими, так как они равны; каждое есть в равной мере сотое; поэтому они все принадлежат к той границе, вследствие которой число есть сотня; оно нуждается в каждом из них для своей определенности; прочие одни не образуют, стало быть, относительно сотого одного такого существования, которое как вне, так и внутри границы было бы от нее отлично. Определенное число не есть поэтому множество против включающего ограничивающего одного, но само составляет это ограничение, которое есть определенное количество, многие образуют одно число, одну пару, один десяток, одну сотню и т. д.

Ограничивающее одно есть, стало быть, определенность против другого, отличение одного числа от другого. Но это отличение не становится качественною определенностью, а остается количественным, падает лишь в сравнивающую внешнюю рефлексию; число, как одно, возвращается в себя и безразлично к другому. Безразличие числа против другого есть его существенное определение; оно образует его определенность в себе, но вместе с тем его собственную внешность. Оно есть таким образом цифровое (numerische) одно, как абсолютно определенное, которое вместе с тем имеет форму простой непосредственности, и для которого поэтому вполне внешне отношение к другому. Как одно, число есть, далее оно имеет определенность, поскольку оно есть отношение к другому, его моменты внутри его самого суть различия единицы и определенного числа, а последнее само есть множество одних, т. е. в себе самом эта абсолютная внешность. Это противоречие числа или, вернее, определенного количества внутри себя есть качество определенного количества, в дальнейших определениях которого это противоречие развивается.

Примечание 1-е. Величины пространственная и числовая рассматриваются, как два различных вида; первая для себя есть столь же определенная величина, как и вторая; их различие состоит лишь в различных определениях непрерывности и дискретности, а как определенные количества, они стоят на одной и той же ступени. Вообще говоря, геометрия в пространственной величине имеет предметом непрерывную величину, а арифметика в числовой величине — дискретную. Но при таком различии предмета они не обладают также равным способом и совершенством ограничения или определенности. Пространственная величина обладает определенностью лишь вообще; поскольку же она рассматривается, как просто определенное количество, она имеет нужду в числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. И при ее определениях последнее исходит отчасти от равенства сторон, углов, от равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно на равенстве расстояний всевозможных его точек от центра, не требует для своего определения никакого числа. Эти покоящиеся на равенстве или неравенстве определения суть истинно геометрические. Но они недостаточны, и для других определений, например, треугольника, _{128}четырехугольника потребно число, которое в своем принципе, одном, содержит определенность для себя, а не определение при помощи чего-либо другого, т. е. при помощи сравнения. Пространственная величина, правда, находит в точке определенность, соответствующую одному; но точка, поскольку она выходит вне себя, становится другим — линиею; так как точка есть по существу лишь одно пространства, она в отношении становится непрерывностью, в которой точечность, определенность для себя, снята. Поскольку определенность для себя должна сохраниться в бытии вне себя, линия должна быть представляема, как множество одних, и граница, определение многих одних, возвратиться в себя, т. е. величина линии — равным образом и других пространственных определений — должна быть выражена числом.

Арифметика рассматривает числа и их фигуры или, правильнее, не рассматривает их, а действует над ними. Ибо число есть безразличная, косная определенность; оно должно быть приведено в действие и в отношение извне. Способы этого отношения суть виды счета (Rechnungsarten). Они излагаются в арифметике один после другого, и становится ясным, что один зависит от другого. Нить, руководящая их последовательностью, не выясняется, однако, в арифметике. Но из определения понятия самого числа легко вытекает то систематическое сопоставление, которое законно требуется изложением этих начал в учебниках. На эти основные определения должно здесь вкратце обратить внимание.