Учение о бытии - [124]

и вместо приращение абсциссы — подкасательную. Невозможно, если позволительно так выразиться, изложить способ более педантично; это подстановление основано на принимаемой обычным методом дифференциального исчисления для определения касательной пропорциональности приращений ординаты и абсциссы с ординатою и под_{194}касательною; в правиле Барроу это допущение является во всей своей наивной наготе. Простой способ определения подкасательной был уже найден; способы Роберваля и Ферма сводятся к подобному же; метод последнего находить наибольшие и наименьшие значения функций исходит из того же основания и того же предела. Математическою страстью того времени было изобретать так называемые методы, т. е. правила этого рода, и притом держат их в тайне, что было не только легко, но даже в известном отношении нужно и нужно именно потому, что было легко, именно потому, что изобретатели находили лишь внешнее эмпирическое правило, а не метод, т. е. не нечто, выведенное из признанных начал. Такие так называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени, а также и Ньютон, и последний принял их непосредственно от своего учителя; они проложили новые пути в науке через обобщение их формы и приложимости, но при этом чувствовали потребность освободить прием от вида совершенно внешнего правила и дать ему потребное оправдание.

При ближайшем анализе метода истинный ход действия оказывается таков. Во-первых, степенные определения (само собою разумеется переменных величин), содержащиеся в уравнении, приводятся к их первым производным функциям. Тем самым изменяется значение членов уравнения; уравнения уже более не остается, но возникает лишь отношение между первою производною функциею одной переменной величины и такой же функциею другой; вместо рх=у² получается р:2у, вместо 2ах — х²=у² получается (а — х):у, что впоследствии и было обозначено, как отношение dx/dy. Это уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, вполне зависимое от уравнения и выведенное из последнего (как указано выше, по простому правилу), есть, напротив, линейное, равное отношению между линиями; р:2у или (а — х):у суть сами отношения прямых линий кривой, координат и параметра; но тем самым знание еще не подвигается вперед. Интерес состоит в том, чтобы узнать и о других связанных с кривою линиях, что им свойственно это отношение, найти равенство двух отношений. Поэтому, во-вторых, является вопрос, какие прямые линии, определенные свойствами кривой, находятся в таком отношении. Но это есть то, что было узнано уже ранее, а именно, что такое этим путем полученное отношение есть отношение ординаты к подкасательной. Старые математики нашли это остроумным геометрическим способом; то, что было открыто новыми исследователями, есть эмпирический прием, состоящий в выводе такого уравнения прямой, из которого было бы видно то первое отношение, о коем уже известно, что оно равно отношению, содержащему линии, в данном случае, подкасательные, подлежащие определению. Этот вывод уравнения понимался и исполнялся отчасти методически, путем дифференцирования, отчасти же были изобретены воображаемые приращения координат и воображаемый образованный из них и такого же приращения касательной характеристический треугольник, дабы пропорциональность отношения, найденного через понижение сте_{195}пени уравнения, с отношением ординаты и подкасательной, оказалась полученною не эмпирически, как уже давно знакомая, но путем доказательства. Однако, старое знакомство проявляется вообще и, несомненно, в том, что вышеуказанная форма правила оказывается единственным поводом и относительным оправданием к принятию характеристического треугольника и упомянутой пропорциональности.

Лагранж отбросил эту симуляцию и вступил на истинно научный путь; его метод привел к правильному взгляду, так как этот метод состоит в том, чтобы разделить оба перехода, потребные для решения задачи, и каждый из них разработать и доказать для себя. Одна часть этого решения — остающаяся ближайшим образом при примере элементарной задачи нахождения подкасательной — теоретическая или общая часть, именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой, регулируется сама для себя; она дает линейное отношение, т. е. отношение прямых линий, входящих в систему определения кривой. Другая часть решения есть нахождение тех связанных с кривою линий, которые состоят в таком отношении. Это достигается прямым путем (Théorie des fonct. anal. p. II chap. II), т. е. без характеристического треугольника, без того, чтобы прибегать к бесконечно малым дугам, ординатам и абсциссам и давать им определения dy и dx, т. е. членов этого отношения, и вместе с тем без того, чтобы непосредственно установлять их равенство с ординатою и подкасательною. Таково, говоря мимоходом, основное положение аналитической геометрии, которое исходит от координат или, чтó то же самое, механики — от параллелограмма сил, и именно потому не испытывает потребности задавать себе труд доказательства. Подкасательная полагается стороною треугольника, другие стороны которого суть ордината и соответствующая ей касательная. Последняя, как прямая линия, имеет своим уравнением