Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - [33]

- 1) x S . Сумма двух результатов — Р_n = S_n + (2n- 1) х S_n = 2ⁿ х S_n = 2ⁿ х (2^{n + 1} - 1). Ч. Т. Д.

Первые примеры

В «Арифметике» Никомах Герасский устанавливает, что совершенными числами являются 6,28,496 и 8126. Из этого он делает следующие выводы.

1. Совершенные числа (четные) оканчиваются на 6 и 8 (верно).

2.Они чередуются (неверно).

3.Существует одно совершенное число на каждый десятичный порядок — среди единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее (неверно).

В XVIII веке Эйлер доказал теорему, взаимодополняющую теорему Евклида: каждое совершенное число (четное) имеет вид 2ⁿ х (2ⁿ⁺¹-1), где 2ⁿ⁺¹-1 — простое число. На сегодняшний день все еще существуют нерешенные вопросы относительно совершенных чисел: неизвестно, бесконечен ли их ряд и существуют ли совершенные нечетные числа.

Начнем с последовательности нечетных чисел.

3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35
37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69
71	73	75	77	79	81	83	85	87	89	91	93	95	97	99	101	103

Начиная с 3 уберем третьи числа через каждые два.

3	5	7		11	13		17	19		23	25		29	31		35
37		41	43		47	49		53	55		59	61		65	67
71	73		77	79		83	85		89	91		95	97		101	103

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

3	5	7		11	13		17	19		23			29	31
37		41	43		47	49		53			59	61			67
71	73		77	79		83			89	91			97		101	103

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47
53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181	191	193	197
199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379
383	389	397	401	409	419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541	547	557	563	569	571
577	587	593	599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743	751	757	761
769	773	787	797	809	811	821	823	827	829	839	853	857	859	863
877	881	883	887	907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977
983	991	997

ПИФАГОРОВА ТРОЙКА

Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а² + b² = с².

Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число — это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n^² + (2n + 1) = (n+1)^². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза — два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k^², где k — нечетное число. Следовательно,

n = (k² - 1)/2, k нечетное.

Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,

где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.

Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1)^², n^². Чтобы перейти от c_n = n^² к c_{n + 1} = (n + 1)^², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.

a = k, где k нечетное	3	5	7	9	11	13	15	...
b = n = n = (k² - 1)/2	4	12	24	40	60	84	112	...
c = n + 1 = n = (k² + 1)/2	5	13	25	41	61	85	113	...

Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)^² к (n + 1)^². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)^² к n^², и 2n + 1, позволяющий перейти от n^² к (n + 1)^². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)^² + 4n = (n + 1)^². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k^². Так мы получаем тройки k^² - 1, 2k и k^² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

k	2	3	4	5	6	7	8
a = k²- 1	3	8	15	24	35	48	63
b = 2k	4	6	8	10	12	14	16
с = k² +1	5	10	17	26	37	50	65

Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ^²-μ^², b = 2λμ, c = λ^² + μ^², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

ГЛАВА 8 Распространение «Начал»

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.