Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - [28]
| 11 и 13 | Критерий подобия треугольников | Треугольники могут быть построены, исходя из двух данных прямых. |
| 12 | Третья и средняя пропорциональная (теорема высот прямоугольных треугольников) | Треугольник может быть построен, исходя из трех данных прямых. |
| 8 (вывод) | Четвертая пропорциональная | Если в прямоугольном треугольнике из прямого угла к основанию проведен перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому, и между собой. |
У теории отношений открылся огромный — и неожиданный, что говорит о гениальности Евдокса,— математический потенциал для определения площадей и объемов. Для этого метод танграма должен был применяться до бесконечности, что невозможно из-за наложенного Аристотелем ограничения. Следовательно, необходимо прибегать к двойному методу доведения до абсурда — в XVII веке его назвали методом исчерпывания. Евклид использовал его для доказательства следующих предложений.
Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.
S>1/S>2 - d>1>2/d>2>2
Книга XII, предложение 7. Всякая призма, имеющая треугольное основание, разделяется на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольные основания.
P>1/П>1 = 1/3
Книга XII, предложение 18. Сферы находятся друг к другу в тройном отношении собственных диаметров.
Е>1/Е>1 = d>1>3/d>2>3
Рассмотрим, как Архимед использовал метод исчерпывания для решения задачи о квадратуре параболы. В некотором смысле оно похоже на решение задачи о квадратуре круга, предложенное Евклидом. Его основная цель — вписать в площадь параболы треугольники и сложить их площади, уже известные нам. Архимед писал:
Квадратура параболы. Площадь сегмента параболы относится к площади вписанного в нее треугольника как один к трем.
Рассмотрим треугольник АСВ, вписанный в сегмент параболы ADCEBA, где вершина С — точка, через которую проходит касательная к параболе, параллельная хорде АВ. В этом случае Архимед утверждал, что площадь S (ADCEBA) равна 4/3 площади треугольника Т = АСВ. То есть
S(ADCEBA) = 4/3 x S(ΔABC) = 4/3 х Т,
Теперь мы должны вписать в оставшиеся сегменты параболы треугольники Т>1 = ADC, Т>2 = ВЕС и сегменты ADA, DCD, СЕС, ВЕВ и так до бесконечности, поскольку величины делимы до бесконечности. Все это бесконечное множество треугольников покрывает площадь, равную трети треугольника Т=АСВ. Тем не менее прибегать к бесконечному необязательно, так как мы можем воспользоваться методом исчерпывания. Можно убедиться с помощью танграма, что треугольники Т>1 = ADC и Т>2 = ВЕС «покрывают соответственно больше половины сегментов параболы ADCA и ВЕСВ». Очевидно, что площадь треугольника T>1=ADC равна половине прямоугольника АН. При этом сегмент параболы ADCEBA меньше этого прямоугольника.
Следовательно, Т>1 = ADC покрывает больше половины сегмента ADCEBA. То же самое происходит с Т>1 = ADC, сегментом параболы СЕВС и прямоугольником CF. Такой метод рассуждений справедлив последовательно для каждого остающегося сегмента параболы. Важно обратить внимание на то, что хотя в данном случае мы применили его к параболе, он работает и для других кривых, включая окружности.
Однако полностью потенциал этого метода раскрыл Архимед, самый выдающийся математик античности.
Евклид дает следующее определение методу исчерпывания:
Книга X, предложение 1. Для двух заданных неравных величину если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.
Это предложение равнозначно определению 4 книги V: если верно одно, то верно и другое, и наоборот. Архимед обратил на это внимание и решил ввести предложение в ранг постулата, который сегодня известен как принцип (или аксиома, или свойство) Архимеда.
Принцип Архимеда. Если имеются две величины одного порядка А и B>f то всегда существует натуральное число п>у при котором п х А > В или п х В > А.
Доказав предложение 7 книги XII, Евклид решил задачу расчета объема пирамиды, унаследованную от египетских математиков. Вопрос о возможности ее решения с помощью метода танграма стоял на третьем месте в составленном Давидом Гильбертом в начале прошлого века списке из 23 задач, представляющих особый интерес для математики. Ответ, разумеется, был отрицательным. А предложение 2 дает ответ на один из важнейших вопросов классической геометрии, которому и посвящена следующая глава.
ГЛАВА 6
Квадратура круга
Одним из главных достижений пифагорейской школы было открытие возможности построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Но было ли это справедливо для круга и других фигур с одной или всеми изогнутыми сторонами? Этот вопрос занимал не только математиков, но и мыслителей, и со временем выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи.
Метод танграма позволяет построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Вследствие любви к обобщению древнегреческие геометры задавались вопросом: можно ли свести к квадрату фигуры с округленными сторонами и, в частности, идеальную фигуру — круг? Первым к решению этой задачи приступил гениальный математик Гиппократ Хиосский. Он разработал серповидные фигуры (гиппократовы луночки): одну над окружностью, другую — над меньшей частью окружности и еще одну — над ее большей частью. Для доказательства, основанного на методе танграма, Гиппократу были необходимы два результата:
