Том 6. Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - [8]
Координатная плоскость с точками А = (4, 2), В = (-5, 3), С = (-2, -4) и D = (5, -3).
* * *
Трехмерное координатное пространство задается тройками чисел (х>1, х>2, х>3). Как уже говорилось, положение вертолета определяется тремя числами — широтой, долготой и высотой. Аналогично более абстрактным примером будет пространство, содержащее картонные коробки, определенные их длиной, шириной и высотой.
Коробка, изображенная в трехмерном координатном пространстве. Координаты точки (а, Ь, с) определяют размеры коробки длиной а, шириной b и высотой с.
В общем случае координаты точки в n-мерном пространстве задаются кортежем (набором) из n чисел (х>1…,x>n), где n — размерность пространства. Таким образом, каждая точка пространства является кортежем (х>1…,x>n), а n-мерное координатное пространство состоит из всевозможных кортежей. В математических символах это записывается так:
Во многих отраслях науки и техники различные данные представляют собой наборы числовых значений, поэтому, применяя понятие координатного пространства к этим кортежам чисел, мы можем использовать геометрические инструменты для организации, локализации и обработки информации. Таким образом мы получаем возможность делать полезные заключения. Можно привести разнообразные примеры, такие как результаты медицинских анализов крови (количество в крови натрия, калия, глюкозы, холестерина и других соединений). Эти результаты представляют собой кортеж из n чисел, где n обозначает количество проведенных клинических испытаний. Другими примерами могут выступать списки групп студентов, результаты спортивных соревнований и так далее.
* * *
ОБЫЧНОЕ РАССТОЯНИЕ
Понятие координатного пространства предполагает существование фиксированного расстояния между двумя точками в этом пространстве, так называемого обычного расстояния. Например, для двух точек р = (x>1, х>2, х>3) и q = (y>1, у>2, у>3) в трехмерном координатном пространстве R>3 обычное расстояние задается выражением
что делает наш мир трехмерным евклидовым пространством. Именно это расстояние мы используем в нашей повседневной жизни. Конечно, это понятие расстояния легко обобщается на n-мерное координатное пространство.
Расстояние (С) между двумя точками (x>1, y>1) и (х>2, у>2) на плоскости определяется по теореме Пифагора, так как С является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами А = у>2 — у>1 и В = х>2 — х>1
Несмотря на кажущуюся простоту этих идей, потребовалось много времени, чтобы привыкнуть к ним и начать применять их на практике. Математики, другие ученые и философы вели жаркие споры о смысле и реальности пространств более высокой размерности. Например, в «Началах» Евклида определяется, что точка не имеет размерности, прямая линия имеет одну размерность (длину), плоскость — два измерения (длину и ширину), а тело в пространстве — три измерения (длину, ширину и высоту). Но Аристотель в своей работе «О небе» утверждал, что четырехмерного пространства не существует: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух — плоскость, в трех — тело, и кроме них нет никакой другой величины, так как три измерения суть все измерения, и величина, которая делима в трех измерениях, делима во всех измерениях».
Клавдий Птолемей (ок. 100–170 н. э.) в своей работе «О расстоянии» впервые доказал, что четвертого измерения не существует. К сожалению, эта книга не сохранилась до наших дней, мы знаем о ней благодаря греческому математику и философу Симпликию Киликийскому (490–560). Фактически Птолемей говорил, что если рассмотреть три перпендикулярные прямые, то невозможно провести четвертую прямую, перпендикулярную к трем другим. Таким образом, четвертого измерения не существует. Однако Птолемей лишь доказывает, что невозможно воспроизвести четыре измерения в нашем трехмерном пространстве.
Позже, при попытке дать геометрическую интерпретацию алгебраических уравнений, возникла идея, что могут существовать пространства более высоких размерностей, но некоторые математики отзывались об этой возможности как о «неестественной». Английский математик Джон Валлис (1616–1703) в своей работе «Алгебра» назвал четвертое измерение «чудовищем, возможным в природе не более, нежели химера или кентавр. Длина, ширина и толщина полностью заполняют пространство. Даже фантазия не может описать, как четвертое измерение может существовать наряду с этими тремя».
Были и те, кто пытался принять существование четвертого измерения на духовном уровне. Например, английский философ Генри Мор (1614–1687) утверждал, что души имеют четыре измерения. Эта идея, как мы увидим в пятой главе, стала очень популярной. В этой связи немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) писал: «Наука обо всех этих возможных видах пространства, несомненно, представляла бы собой высшую геометрию, какую способен построить конечный ум… Если возможно, чтобы существовали протяжения с другими измерениями, то весьма вероятно, что Бог где-то их действительно разместил. Поэтому подобные пространства вовсе не принадлежали бы к нашему миру, они должны были бы составлять особые миры».
