Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [35]

Имеет ли какое-то отношение равенство

 к стремлению к совершенству?

Сначала может показаться, что приравнять к бесконечности сумму двух конечных чисел, какими являются единицы, нельзя, поскольку неожиданно получается:

Быть может, это равенство имеет какой-то смысл? Пусть в повседневной трактовке бесконечности и в привычной трактовке суммы чисел это не так, однако существуют и другие трактовки, в которых это равенство может быть абсолютно верным.

Будем рассматривать не множество натуральных чисел в целом, а множество X, содержащее всего три элемента:

Сопоставим элемент 0 с нулем, элемент 1 — с произвольной конечной величиной, элемент ©о — с некоторой величиной, которая не является ни нулевой, ни конечной. С учетом вышесказанного логично предполагать, что

Ничто + что-то = что-то.

Конечное + конечное = конечное.

Бесконечность + что-то = бесконечность.

Поэтому сумма 1 + 1 должна быть не бесконечной, а конечной, а операция сложения на множестве X должна описываться следующей таблицей:

Эта операция сложения обладает привычными нам свойствами. Так, она коммутативна (описывающая ее таблица симметрична относительно диагонали), содержит нейтральный элемент (ноль), который при сложении с любым другим элементом оставляет его неизменным, кроме того, эта операция обладает ассоциативностью (порядок сложения трех элементов не влияет на итоговый результат). Сохранятся ли эти свойства, если мы заменим равенство 1 + 1 = 1 на 

, как указано в рекламном слогане? Иными словами,

В этом случае таблица по-прежнему симметрична относительно диагонали. Ноль по-прежнему является нейтральным элементом. Свойство ассоциативности также сохраняется.

Однако не выполняется одно из ожидаемых свойств — ни для 1, ни для 

нет противоположного элемента. Не существует элемента, который в сумме с 1 давал бы 0, и не существует элемента, который в сумме с 

давал бы 0. Чтобы исправить это, необходимо, чтобы в каждой строке или в каждом столбце таблицы имелся минимум один 0. Очевидно, что если заполнить таблицу нулями, проблема будет решена, однако подобное решение нас не устраивает.

Цифры в первой строке и в первом столбце таблицы неоспоримы, так как при сложении нуля с любой величиной результатом всегда является эта величина. Если мы определим 

, новая таблица примет вид:

Чтобы для операции сложения были определены противоположные элементы, 0 должен встречаться в каждой строке и в каждом столбце. Если мы хотим, чтобы эта операция обладала коммутативностью, таблица должна быть симметричной относительно диагонали. Обеспечить это можно всего несколькими способами:

Не существует значения а такого, чтобы операция сложения, определенная в первой таблице, обладала бы ассоциативностью:

Третья таблица также не подходит:

Только подставив b = 1 во вторую таблицу, мы получим верное решение. Конечно, равенства

противоречат нашим привычным представлениям.

Мы создали алгебраическую структуру, состоящую из множества X = {0, 1,

} и операции +, обладающей требуемыми свойствами, результаты которой всегда принадлежат множеству X. Результаты операции сложения для элементов множества X непривычны для нас, но это тема отдельного разговора.

Линейные и экспоненциальные функции

На упаковках губок одной марки в течение нескольких лет приводился график с текстом: «Не позволяйте бактериям размножаться». На нем были изображены две стрелки в координатной плоскости. Одна иллюстрировала результаты применения губки, другая — скорость размножения бактерий без использования губки.

Заслуживает внимания правильное использование терминологии и графика.

Численность бактерий с течением времени возрастает. В рекламном тексте говорится, что при использовании губки численность бактерий перестанет умножаться. Допустим, в единицу времени появляется b новых бактерий, при этом b > 1. По прошествии t единиц времени их число будет равно:

B(t) = Ь·Ь·Ь… ^{(t раз)}…·Ь = b^t.

Это показательная функция с основанием степени b, графиком ее является восходящая кривая, наклон которой постепенно растет, и на бесконечности график обращается в вертикальную линию.

Если численность бактерий будет не умножаться, а складываться, то их численность по прошествии t единиц времени будет описываться формулой:

B(t) = Ь + Ь + Ь… ^{(t раз)}… + Ь = b·t.

Это линейная возрастающая функция, наклон которой постоянен (тангенс угла наклона графика равен Ь) и графиком которой является прямая. За исключением того, что начальная точка графиков показательных функций обычно не совпадает с началом координат, на упаковке воспроизведены графики обеих функций. С точки зрения математики они абсолютно верны, так как график показательной функции соответствует случаю, когда численность бактерий умножается.

Правило третей

При создании изображений работает правило, согласно которому деление на трети важнее деления на половины. Желательно не располагать основные элементы композиции точно в центре.

Например, горизонт на фотографии лучше расположить выше или ниже линии, делящей прямоугольный кадр пополам.

Если на фотографии присутствует два важных элемента, лучше расположить их в точках пересечения линий, делящих кадр на три части по горизонтали и по вертикали. В этом случае геометрическое правило помогает создать гармоничную композицию.