Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [20]

Описательная статистика

Статистика позволяет проводить количественный анализ различных ситуаций. Представление о них перестает быть чем-то, основанным лишь на интуиции, и обретает объективность. Разумеется, статистика может быть обманчивой, однако тщательно спланированное и проведенное статистическое исследование помогает понять, что происходит на самом деле, и принять обоснованные решения.

Статистику можно определить как математический анализ, позволяющий с максимальной точностью изучать события, информации о которых недостаточно, в том числе и экономические события. Тремя ключевыми понятиями статистики являются: признак — изучаемое свойство некоторого события или явления (чтобы изучить признак, необходимо проанализировать, как он изменяется); объект исследования (это могут быть люди, семьи, избиратели, товары, детали, автомобили и т. д.) и генеральная совокупность — совокупность всех объектов, на которой проводится статистическое исследование.

При изучении генеральной совокупности можно рассмотреть значения признаков для всех ее элементов, однако во многих случаях это нецелесообразно. Часто выбирается группа объектов совокупности — формируется выборка, после чего все элементы выборки тщательно анализируются. По сути, одной из основных задач статистики является правильное формирование выборок и определение способов их изучения, позволяющих делать выводы, справедливые для всей генеральной совокупности.

Изучаемые признаки могут быть качественными (например, степень удовлетворенности обслуживанием) или количественными, которые, в свою очередь, могут быть дискретными (то есть принимать только целые значения, например число детей в семье) или непрерывными (например, диаметр деталей, изготавливаемых на станке).

Данные, собранные при статистических исследованиях, отображаются на различных графиках: столбчатых диаграммах, гистограммах, круговых диаграммах и т. д.

Глава 4. Производство и затраты на него. Рентабельность инвестиций

Максимальный объем продукции, которую можно произвести при определенном количестве факторов производства, определяется производственной функцией: х = f(v₁, v₂, …, v_n), где х — объем произведенной продукции, v₁, v₂, …, v_n — факторы производства. Факторы производства зависят от уровня технологий и остаются неизменными, пока не произойдет смена технологий. При смене технологий изменяются значения используемых факторов либо они заменяются новыми, более эффективными факторами. Предполагается, что переменные, используемые в производственной функции (объемы и факторы производства), измеримы, а используемая технология и поведение факторов производства не меняются.

Предельные издержки и оптимизация прибыли предприятия

Оптимальный уровень производства

Производственную функцию, как и любую другую, можно выразить аналитически с помощью формулы, построив ее график или составив таблицу значений. В строках и столбцах таблицы значений будут записаны значения факторов производства, необходимые для получения определенного объема продукции. На графике изображаются значения, содержащиеся в этой таблице.

Проанализируем упрощенную модель, в которой рассматриваются всего два фактора производства. Рассмотрим пример с изготовлением сплава алюминия с никелем, в котором количество готовой продукции (х) зависит от массы никеля (v₁) и алюминия (v₂) по следующему закону:

x = v₁ + 2v₂

* * *

ФУНКЦИИ

Функция — это количественная взаимосвязь между переменными. В простейшем случае функция определяет влияние одной переменной — аргумента (ее значения выбираются произвольно) на другую переменную — зависимую (ее значение зависит от выбранного значения аргумента).

Существуют эмпирические функции, значения переменных для которых получены в результате эксперимента, и математические функции, в которых значения переменных подчиняются определенной формуле.

В экономике некоторые эмпирически выведенные зависимости между переменными можно приближенно описать математической функцией с помощью метода, называемого регрессией.

В других случаях используется формула, которая достаточно точно описывает связь между значениями двух переменных. Если мы будем рассматривать сумму, подлежащую уплате, как зависимую переменную, а число купленных единиц товара — как аргумент, то зависимость между ними будет определяться следующей формулой:

Сумма к уплате = стоимость за единицу товара ∙ число единиц товара.

В математической нотации эта функция будет записываться как f(x) = а∙х, где f(x) обозначает, что значение f (зависимой переменной) зависит от х, а — постоянная, равная стоимости единицы товара, х — число приобретенных единиц товара (аргумент).

Математическую функцию можно представить тремя способами: в виде формулы, таблицы значений или графика в декартовой системе координат. Существует множество видов функций.

Простейшими являются линейные функции, или полиномы (многочлены) первой степени, как, например, f(х) = 0,65х. Далее эта функция представлена в трех различных вариантах.

Функция f(x) = 0,65х — это линейная возрастающая функция, или прямая пропорциональность.

С увеличением независимой переменной