Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [3]
На карте Таро над головой Мага изображен знак бесконечности.
Проведем небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч, который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на пол, он отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой он упал. Если, например, мяч упал с высоты двух метров, он отскочит от пола на метр, затем на 50 см и т. д. Допустим, что нам нужно решить следующую задачу. Мы бросаем мяч с высоты 10 м. Какое расстояние пройдет мяч к тому моменту, когда он остановится? Нельзя сказать, что эту задачу невозможно решить, ведь мы понимаем, что в определенный момент мяч перестанет подпрыгивать — он не может подскакивать вечно. С другой стороны, можно предположить, что пройденный им путь будет бесконечно большим, так как делить пополам можно бесконечно, и всякий раз результатом деления будет все меньшая и меньшая величина. Это типичный парадокс, связанный с бесконечностью (далее мы рассмотрим его подробнее), в котором фигурирует новое для нас понятие бесконечно малой величины.
Остановится мяч или же он будет бесконечно долго подпрыгивать на бесконечно малую высоту?
Следовательно, мы можем представить себе бесконечность не только как нечто необъятное, но и как нечто бесконечно малое. Представьте себе отрезок, разделенный на две части. Каждую из них, в свою очередь, можно разделить еще на две части и т. д. По крайней мере теоретически мы можем делить отрезок бесконечное число раз и всякий раз будем получать все более и более мелкие отрезки. Есть ли этому предел? Нет, ведь подобно тому, как мы всегда можем добавить еще одно число к натуральному ряду, так и в этом примере мы всегда можем разделить полученный отрезок еще раз. Таким образом, «бесконечность» может относиться как к чему-то бесконечно большому, так и к бесконечно малому.
Первые рассуждения или размышления о бесконечности, как и о других важнейших понятиях философии, берут начало в древнегреческой культуре. Как известно, одной из многих заслуг греческих философов было создание собственного философского языка. Они обозначали идеи конкретными словами, сформировав философскую терминологию, такую же точную, как научная терминология (или даже более точную), так как в конечном итоге последняя произошла от первой. В нашем случае ключевым понятием является «апейрон» — слово, происходящее от греческого рéгаtа, что означает «предел». Следовательно, нечто, не имеющее рéгаtа, называется апейрон (ápeiron) — «бесконечное, беспредельное».
В греческой философии это «беспредельное» приобрело особое значение: под ним понималось не столько нечто неограниченное, как в наши дни, а источник всего сущего. За этим понятием скрывалась следующая идея: все сущее определяют прежде всего его пределы. Эта идея распространялась как на живые, так и на неживые объекты. Если мы представим себе произвольный объект, например стол, то первое, на что мы обратим внимание, — это не его назначение, а границы, которые отделяют его от всего остального. Живая клетка существует потому, что у нее есть мембрана, отделяющая ее от окружающей среды. Таким образом, можно утверждать: все на свете существует в своих пределах и благодаря им. Апейрон подобен некой неопределенной субстанции, в которой зародилось все сущее, когда в этой субстанции возникли границы, или пределы. Как следствие, причина существования апейрона — скорее присутствие чего-то неопределенного, нежели безграничного.
Поэтому неудивительно, что апейрон считался не только источником живительной силы — ему также приписывалась способность наделять вещи определенными свойствами. Так апейрон и, как следствие, представление о бесконечности в различных религиозных учениях стали связывать с Богом.
Возникла некоторая неоднозначность и даже противоречие: апейрон как основа всего сущего связан с первородным хаосом, то есть с чем-то плохим, нежелательным, чем-то, что не является частью нашего существования. Отсюда и неоднозначность понятия «бесконечность»: его можно связывать как с чем-то божественным и недостижимым, так и с чем-то беспорядочным, хаотичным — чистым злом.
Об этой негативной трактовке бесконечности, сохранившейся в нашей культуре, Хорхе Луис Борхес писал: «Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности».
Другая трактовка понятия «апейрон», которая ближе к примитивной трактовке бесконечности, связана с евклидовым пространством, то есть с безграничным геометрическим пространством. Следуя логике Платона, Аристотель не верил в существование бесконечного пространства. Он считал, что пространство — это место, которое может быть занято предметом, вне зависимости от того, находится в нем сейчас какой-либо предмет или нет. Следовательно, бесконечное пространство может быть занято бесконечно большим предметом, что невозможно.
