Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [2]

Я впервые осознал, что такое бесконечность, ребенком, когда оказался между двумя параллельными зеркалами в кабине лифта. «Что это?» — спросил я. Отец взял меня за руку и ответил: «Это бесконечность». С тех пор бесконечность для меня подобна далекой, удивительной и пугающей стране, по которой лучше всего путешествовать, если кто-то держит тебя за руку.

Для всех нас бесконечность находится где-то далеко, в совершенно недостижимом месте, и в лучшем случае вызывает страх, в худшем — безмерный ужас. Однако альтернатива бесконечности также не слишком обнадеживает. Если Вселенная конечна, что находится за ее пределами? Ответ: Ничто, с большой буквы. И это «Ничто» еще невероятнее, чем бесконечность.

Иллюстрация Гостава Доре к «Аду» — первой части «Божественной комедии» Данте Алигьери. Дантовский ад был синонимом бесконечных страданий и вечных мук.

Определение из словаря

По определению из словаря, «бесконечность» обозначает нечто чрезмерно великое, необычайно большое или продолжительное. Однако мы часто используем это слово, говоря «бесконечное пространство», «бесконечно много раз», «бесконечное время», «бесконечное терпение». Все мы понимаем смысл этих выражений, но если мы попробуем разобраться, что же имеется в виду на самом деле, то увидим, что наши способности размышлять о бесконечности ограничены, и мы быстро переходим к банальностям и клише, которые никак не помогают нам приблизиться к пониманию сути бесконечности. Это понятие имеет философскую природу: размышлять о бесконечности означает философствовать, а для таких размышлений нужно иметь какую-то отправную точку. Проще всего будет обратиться к словарю.

В толковом словаре русского языка слово «бесконечность» имеет четыре значения.

1. Отсутствие конца, предела наличию каких-либо однородных объектов в пространстве или последнего момента осуществления каких-либо процессов.

2. Пространство, не имеющее видимых границ, пределов.

3. Условная величина, которая больше любого наперед заданного значения (обозначается знаком

).

4. Техн. Знак, метка, показатель условной величины, обозначающей предельную дальность действия прибора (используется в оптике, механике).

Проанализируем эту статью не с лингвистической, а с математической точки зрения и постараемся как можно ближе подойти к истинному значению этого слова.

Первое определение гласит, что бесконечность — это нечто, не имеющее конца, пределов. Сделаем несколько замечаний. Во-первых, обратим внимание на тонкое различие: когда мы говорим, что бесконечность не имеет конца, то мы утверждаем, что она существует и у нее отсутствует конец. Когда мы говорим, что бесконечность не может иметь конца, то утверждаем, что если она существует, то ее предел недостижим. Вам может показаться, что это различие несколько натянуто, однако в нем проявляется разница между потенциальной и актуальной бесконечностью — двумя понятиями, о которых мы подробнее поговорим чуть позже.

Во втором определении речь идет скорее о чувствах и ощущениях. Третье определение ближе всего к строгому математическому определению бесконечности. Обратите внимание на знак бесконечности, об истории возникновения которого мы поговорим далее.

Когда мы говорим «вечная любовь», то имеем в виду временной аспект бесконечности. Если же мы скажем, что Вселенная бесконечна, то речь идет о ее пространственном аспекте. Это определение по-прежнему расплывчато и по ощущениям напоминает вид звездного неба в безлунную ночь: его чернота кажется нам беспредельной. Поэтому очевидно, что если мы хотим говорить о бесконечности, то первое, что мы должны сделать, — это выбрать в качестве отправной точки некий конкретный объект, и, хотя это может показаться парадоксальным, поскольку математика носит абстрактный характер, лучшей отправной точкой станет ряд натуральных чисел.

Как известно, нет ничего более «натурального», чем натуральное число, и в любой развитой культуре известен ряд чисел 1, 2, 3, … Когда заканчивается этот ряд? Разумеется, никогда. Но почему? Потому что мы всегда можем прибавить к последнему числу единицу и получить следующее число. Как вы увидите чуть позже, за этим ответом скрывается достаточно точное определение понятия «бесконечность». Как бы то ни было, ответ «никогда» имеет в том числе временной аспект.

Точно так же можно сказать, что мы «всегда» сможем добавить к этому ряду еще одно число. Если мы будем приписывать к натуральному ряду числа, держа в руке часы, то увидим, что не только этот ряд, но и время, затраченное на его написание, будут бесконечно большими, что часто становилось причиной серьезных неудобств при изучении бесконечности.

* * *

ЗНАК БЕСКОНЕЧНОСТИ

Круг, изображаемый на иконах над головами святых, символизирует вечность. Латинское слово caelum означает и «небосвод», и «круг». Эта бесконечная кривая, которую можно обойти бесконечное число раз за бесконечное время, символизирует вечность. Аналогично в некоторых языческих верованиях в качестве символа святости вместо круга использовался знак бесконечности. В большинстве версий карт Таро на первой карте над головой Мага изображен знак бесконечности. Этот символ, который многие ошибочно называют «перевернутой восьмеркой», представляет собой так называемую «лемнискату Бернулли». Он был введен британским математиком