Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [28]
Прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор, работая над определением вещественной прямой, следовал путем, который мы уже описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчета и выбрал единицу измерения. В начальную точку он поместил число 0, справа от него — целые положительные числа, слева — отрицательные. Добавим к ним рациональные числа, то есть дроби: положительные расположим справа, отрицательные — слева. Напомним, что с добавлением рациональных чисел эта прямая приобрела свойство плотности, согласно которому между двумя любыми рациональными числами всегда находится другое рациональное число.
Вы уже знаете, какой масштабный кризис вызвало открытие числа √2 в древнегреческой математике. Суть проблемы заключалась в том, что это число можно было совершенно четко представить с помощью прямоугольного треугольника с катетами единичной длины, но длина гипотенузы этого треугольника, выражаемая иррациональным числом, не входила во множество точек прямой, на которой мы определили единицу измерения катетов. Таким образом, длина гипотенузы имела смысл как величина, но не существовала как число. В этом смысле можно было утверждать, что вещественная прямая содержала бесконечное множество промежутков, пустых точек, которым не соответствовали никакие числа, следовательно, вещественная прямая не была непрерывной.
С введением иррациональных чисел всем точкам этой прямой оказались присвоены числа, рациональные или иррациональные, и промежутки на ней исчезли. Теперь прямая по праву могла называться вещественной.
С другой стороны, утверждение, согласно которому прямая как геометрическая сущность полностью, без промежутков, заполнена числами, оставалось не до конца обоснованным. Размышления на эту тему привели к тому, что Кантор стал больше интересоваться непрерывностью, чем бесконечностью, и определил важнейшее понятие счетности, которое стало первой альтернативой понятию бесконечности.
Кантор столкнулся с проблемой подсчета бесконечности. Ранее потенциальная бесконечность определялась через возможность беспредельно добавлять к ряду или последовательности все новые и новые элементы, но Кантор предложил ввести понятие актуальной бесконечности, иными словами, начать использовать бесконечность как еще одну математическую сущность. Для этого следовало пересмотреть и полностью формализовать такое элементарное арифметическое действие, как простой подсчет совокупности объектов, что требовало решения двух задач: нужно было, во-первых, четко определить, что понимается под совокупностью объектов, и, во-вторых, дать математическое определение подсчету объектов совокупности.
Первая задача была решена с помощью теории множеств, которую на тот момент уже разработал Больцано. Кантор расширил и дополнил ее, что дало возможность вести речь об элементах множества как о совершенно абстрактных сущностях.
Многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из самых выдающихся творений человеческой мысли. Мы не будем вдаваться в детали этой теории, так как в нашем контексте будет достаточно нескольких интуитивно понятных определений, однако отметим, что понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, так как на него опираются все теоретические основы науки. Анри Пуанкаре (1854–1912) как-то сказал, что математик — это человек, дающий разным вещам одно наименование. Эта короткая и немного ироничная фраза отражает важную истину: конечная цель, к которой стремятся математики, — обобщение.
Замечание Пуанкаре в высшей степени применимо к теории множеств, поскольку слово «множество» может означать любое существующее понятие (а также многие несуществующие). Именно это обобщение позволило Кантору дать четкое определение актуальной бесконечности.
Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «множество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множество» или один из его синонимов — объединение, группа и т. д.
Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идет о фундаментальном понятии.
* * *
СЧЕТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ
Интересно отметить, что человек научился считать раньше, чем появились системы счисления, поэтому, вопреки распространенной точке зрения, можно утверждать, что понятие биективного отображения появилось одновременно с понятием числа или даже раньше. Например, пастуху, который хотел сосчитать число овец в стаде, требовалась сумка с камнями. Когда очередная овца выходила из загона, пастух вынимал из сумки один камень. Вечером, пригнав овец обратно в загон, пастух устанавливал взаимно однозначное соответствие между овцами и камнями. (От латинского слова calculus — «камень» происходит, например, современное слово «калькулятор».)
Поиск простых чисел — одна из самых парадоксальных проблем математики. Ученые пытались решить ее на протяжении нескольких тысячелетий, но, обрастая новыми версиями и гипотезами, эта загадка по-прежнему остается неразгаданной. Появление простых чисел не подчинено какой-либо системе: они возникают в ряду натуральных чисел самопроизвольно, игнорируя все попытки математиков выявить закономерности в их последовательности. Эта книга позволит читателю проследить эволюцию научных представлений с древнейших времен до наших дней и познакомит с самыми любопытными теориями поиска простых чисел.
Наше поколение стало свидетелем необычайной победы человеческого разума — начала проникновения в космос. Перед молодежью открываются увлекательные, полные заманчивости перспективы межпланетных путешествий и открытий. Но есть еще и на нашей «обжитой» планете Земля много неизученных «белых пятен», среди них почти неизвестный на всю его глубину Мировой океан с его подводными горами и впадинами, со своим растительным и животным миром, со своими физическими законами. В изучении его большую пользу приносит гидроакустика — сравнительно молодая наука, имеющая большое будущее. Эта наука имеет большое прикладное значение.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
Оказалось, достаточно всего одного поколения медиков, чтобы полностью изменить взгляд на генетические заболевания. Когда-то они воспринимались как удар судьбы, а сейчас во многих случаях с ними можно справиться. Некоторые из них почти исчезли, как, например, талассемия, отступившая на Кипре благодаря определенным политическим мерам, или болезнь Тея–Сакса, все менее распространенная у евреев-ашкеназов. Случаи заболевания муковисцидозом также сократились. Генетические заболевания похожи на родовое проклятие, то появляющееся, то исчезающее от поколения к поколению.
Книга Рюди Вестендорпа, профессора геронтологии Лейденского университета и директора Лейденской академии жизненной активности и старения, анализирует процесс старения и его причины в широком аспекте современных научных знаний. Чему мы можем научиться от людей, которые оставались здоровыми всю свою исключительно долгую жизнь? Помогут ли нам ограничения в пище или гормоны, витамины и минеральные вещества? Как сохранить свои жизненные силы, несмотря на лишения и болезни? Автор систематизирует факторы, влияющие на постоянно растущую продолжительность жизни людей нашего времени. В книге подробно обсуждаются социальные и политические последствия этого жизненного взрыва.
Если вы читали о динозаврах в детстве, смотрели «Мир юрского периода» и теперь думаете, что все о них знаете, – в этой книге вас ждет много сюрпризов. Начиная c описания мегалозавра в XIX в. и заканчивая открытиями 2017 г., ученые Даррен Нэйш и Пол Барретт рассказывают о том, что сегодня известно палеонтологам об этих животных, и о том, как компьютерное моделирование, томографы и другие новые технологии помогают ученым узнать еще больше. Перед вами развернется история длиной в 150 миллионов лет – от первых существ размером с кошку до тираннозавра и дальше к современным ястребам и колибри.
В книге рассказывается, как родилась и развивалась физиология высшей нервной деятельности, какие непостижимые прежде тайны были раскрыты познанием за сто с лишним лет существования этой науки. И о том, как в результате проникновения физиологии в духовную, психическую деятельность человека, на стыке физиологии и математики родилась новая наука — кибернетика.