Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления - [20]

* * *

Простые и десятичные дроби

Когда арабские цифры попали на Запад, изначально с их помощью записывались только целые числа. Дробные числа по-прежнему записывались в шестидесятеричной системе счисления, как в древней Вавилонии. Кушьяр ибн Лаббан в своей книге «О началах индийской арифметики» обозначает дробные числа как градусы: 1/60 он называет минутой (daqa’iq), 1/(602) — секундой (thawani), 1/(603) — терцией (thawalith), 1/(604) — квартой (rawabf) и так далее. Уже тогда они обозначались теми же символами, которые используются и сейчас: градусы обозначались знаком °, минуты — ', секунды — ", терции — "' так далее.

Лишь в XVI веке Симон Стевин написал трактат, в котором подчеркивалась важность десятичной нотации, в том числе для записи дробей. Он обратился к властям и начал кампанию по распространению этой системы. До Стевина десятичная нотация уже применялась для записи дробей, однако использовалась не повсеместно. Персидский математик и астроном Гияс ад-Дин ал-Каши (1380–1429), один из руководителей Самаркандской обсерватории, использовал эту нотацию за 100 лет до Стевина в своих трудах по тригонометрии и при вычислении числа 71. Ал-Каши также был известен так называемый треугольник Паскаля (таблица Тартальи).

* * *

СИМОН СТЕВИН

Фламандский математик, инженер, физик и семиолог Симон Стевин (1548–1620) в 1585 году опубликовал книгу DeThiende («Десятая»). В этой книге объяснялась десятичная нотация и способы вычисления расчетов в этой нотации. Стевин первым признал существование отрицательных чисел, полученных им при решении задач. Он также создал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Он писал все труды на голландском языке, чтобы их могли понять ремесленники. Его книги были написаны очень просто и пользовались большой популярностью, что способствовало распространению десятичной системы счисления.

* * *

Число π

Как мы уже упоминали, персидский математик ал-Каши занимался вычислением числа π. В то время как Цзу Чунчжи вычислил значение π, использовав правильный многоугольник с 12288 = 3·2¹² сторонами, ал-Каши использовал многоугольник с числом сторон, равным 805306368 = 3·2²⁸, и верно вычислил 14 знаков π. Это произошло в 1430 году.

Математики ал-Каши и Людольф ван Цейлен вычислили новые, ранее неизвестные знаки числа π.

Профессор Лейденского университета Людольф ван Цейлен последовал путем ал-Каши и в 1596 году вычислил 20 верных знаков Я, использовав многоугольник с 515396075520 = 60·2³³ сторонами. Позднее, в 1615 году, он вычислил 35 верных знаков, использовав многоугольник с числом сторон, равным 4611686018427387904 = 2⁶².

Метод вычисления числа Я с помощью многоугольников позволял получить точные результаты, однако многие математики считали, что существуют более эффективные алгоритмы. Они рассматривали возможность вычисления π как суммы или произведения бесконечного числа членов. Первым европейским математиком, который нашел подобное выражение, был Франсуа Виет, один из создателей современной алгебры. Тем не менее ему был неизвестен ряд, полученный Мадхавой из Сангамаграма, о котором мы упоминали в предыдущей главе. Выражение, полученное Виетом, представляло собой произведение бесконечного числа членов, в котором использовался квадратный корень из 2. Это выражение было не слишком удобно, однако оно открыло новый путь к вычислению множества знаков π.

Впервые в истории математики число π было выражено в виде произведения бесконечного числа членов. Это произведение выглядело следующим образом:

* * *

ФРАНСУА ВИЕТ (1540–1603)

Виет был адвокатом, государственным чиновником, но прежде всего авторитетным математиком, который первым стал обозначать члены уравнений буквами. Он славился блестящим умением взламывать шифры с помощью статистических методов. Ему удалось расшифровать переписку испанских агентов, что позволило французам получить преимущество в войне с Испанией. Незадолго до смерти он написал статью по криптографии, где изложил методы шифрования своего времени и алгоритмы их взлома.

Глава 3 Первые механические вычислительные машины

Появление арабских цифр ознаменовало прогресс в вычислениях и новый виток эволюции науки. В XVII веке в ходе длительного процесса значительно изменились представления о Вселенной, а также метод и сама концепция западной науки. Этот период, который часто именуется революцией в науке, открыл путь к эпохе Просвещения, начавшейся в XVIII веке. Развитие человеческой мысли происходило очень быстрыми темпами. Появлялись новые методы исчисления, которые требовали новых, более мощных, сложных и точных инструментов. Расчеты, выполняемые вручную, неизбежно становятся источником ошибок. Чтобы избежать этого, ученые стремились свести к минимуму участие человека в расчетах, что стимулировало создание механических вычислительных машин. В период, охватывающий XVII, XVIII и XIX века, были сконструированы первые механические вычислительные машины.

XVII век

В 1617 году шотландский математик Джон Непер создал одну из первых вычислительных машин — абак, известный под названием «палочки Непера». Эта машина была столь эффективной, что в некоторых регионах она использовалась вплоть до начала XX века.