Teopeма Гёделя - [6]

Определим теперь класс N — класс всех нормальных классов. Является ли N нормальным классом? Если N нормален, то он является своим собственным элементом (ведь, по определению, N содержит все нормальные классы). Но в таком случае N ненормален, так как в силу данного выше определения класс, содержащий самого себя в качестве элемента, является ненормальным. С другой стороны, если N — ненормальный класс, то он (в силу определения понятия ненормальности) является своим собственным элементом; но в таком случае N нормален, так как выше определено, что элементами N являются лишь нормальные классы. Короче говоря, N нормален тогда и только тогда, когда N ненормален. Отсюда следует, что утверждение «N — нормальный класс» является в одно и то же время истинным и ложным. Это противоречие неминуемо следует из некритического, безоговорочного употребления представляющегося столь ясным понятия класса (множества). Впоследствии были обнаружены и другие парадоксы, причем каждый из них строился с помощью хорошо известных и вроде бы бесспорных приемов рассуждения. Математикам пришлось прийти к выводу, что при построении претендующих на непротиворечивость систем общеизвестность и интуитивная ясность идей являются далеко не надежной основой.

Мы убедились в важности проблемы непротиворечивости (совместимости) и ознакомились с классическим, «стандартным», методом ее решения с помощью моделей. Мы видели, что проблема эта обычно требует использования бесконечных моделей, описание которых, однако, само чревато внутренними противоречиями. Нам придется согласиться поэтому, что метод моделей имеет ограниченную ценность в качестве орудия решения проблемы и недостаточен для получения окончательного ответа на нее.

3 Абсолютные доказательства непротиворечивости

Принципиальные ограничения, препятствующие использованию моделей для установления непротиворечивости и перерастающие в уверенность подозрения, что многие математические системы чреваты внутренними противоречиями, привели к тому, что были предприняты совершенно новые попытки решения проблемы непротиворечивости. Альтернативный — по отношению к упоминавшимся до сих пор доказательствам относительной непротиворечивости— подход был указан Гильбертом. Его целью было построение «абсолютных» доказательств непротиворечивости различных систем — доказательств, не исходящих из предположений о непротиворечивости какой-либо другой системы. Чтобы понять сущность открытия Гёделя, нам понадобится разобраться в общих чертах в гильбертовском подходе к проблеме.

Первым шагом построения абсолютного доказательства непротиворечивости, согласно такому подходу, должна явиться полная формализация исследуемой дедуктивной системы, состоящей, грубо говоря, в том, что все входящие в данную, систему выражения рассматриваются как лишенные какого бы то ни было значения — просто как некоторые сочетания символов. Способы соединения символов и обращения с составленными из них выражениями четко предусмотрены специальными правилами. В результате мы получаем систему символов (называемую «исчислением»), содержащую все те и только те символы, на которые мы явным и недвусмысленным образом указали. Постулаты и теоремы полностью формализованной системы — просто «строчки» (т. е. конечные последовательности) ничего не означающих значков, достроенные из элементарных символов согласно правилам данной системы. В такой полностью формализованной системе вывод теорем из постулатов — не что иное, как преобразование (согласно правилам системы) одной совокупности «строчек» в другую. Поступая таким образом, мы избегаем опасности, связанной с неявным использованием каких-либо сомнительных методов рассуждения.

Формализация — дело довольно-таки трудное и требующее немалой изобретательности; но она хорошо служит намеченной задаче. Формализация позволяет ясно видеть структуру системы и назначение отдельных ее элементов аналогично тому, как структура и работа отдельных узлов какой-нибудь машины легче уясняются на модели такой машины, чем при рассмотрении самой машины. Логические соотношения между отдельными предложениями становятся после формализации хорошо обозримыми; мы видим в ней структурные соотношения между различными «строчками» и «бессмысленными» символами, уясняем, каким образом они связаны друг с другом, правила их комбинации и взаимного следования и т. п.

До сих пор мы говорили, что «бессмысленные» значки такой формализованной математики ничего не утверждают— это пока просто некая абстрактная картинка, иллюстрирующая строение интересующей нас системы. Но, конечно, строение такой картинки — а тем самым и иллюстрируемой ею системы — мы можем описывать на обычном человеческом языке, делая определенные высказывания, относящиеся к ее общей конфигурации и соотношениям отдельных ее элементов.

Мы можем, например, отметить простоту или симметричность какой-нибудь «строчки», сходство ее с некоторой другой «строчкой» можем заметить, что одна «строчка» может быть представлена в виде сочленения трех других «строчек» и т. п. Такие высказывания, безусловно, осмыслены и, более того, могут выражать весьма существенную информацию о нашей формальной системе. Следует, однако, сразу же отметить, что все эти осмысленные высказывания о бессмысленной (или, что то же самое, — формализованной) математике никоим образом не принадлежат сами по себе этой математике. Они относятся к области, которую Гильберт назвал «метаматематикой», к языку,