Тени разума. В поисках науки о сознании - [233]

. Здесь обитают натуральные числа 0, 1, 2, 3, … и алгебра комплексных чисел. Здесь мы найдем теорему Лагранжа о том, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов, и самую знаменитую из теорем евклидовой геометрии — теорему Пифагора (о квадратах сторон прямоугольного треугольника). Где-то здесь находится правило a × b = b × a для любых натуральных чисел и тот факт, что означенное правило не работает в случае «чисел» некоторых других типов (например, тех, что участвуют в грассмановом произведении, упомянутом в §5.15). Этот же платоновский мир содержит геометрии, отличные от евклидовой, геометрии, в которых теорема Пифагора неверна. Здесь есть бесконечность и невычислимость, рекурсивные и нерекурсивные ординалы. Здесь — незавершаемое действие машины Тьюринга и машина с оракулом, а также многие классы математических задач, неразрешимые вычислительными методами, такие как задача о замощении плоскости плитками полиомино. В этом мире мы встретим электромагнитные уравнения Максвелла и гравитационные — Эйнштейна, равно как и бесчисленные удовлетворяющие им теоретические пространства-времена, как реалистичные физически, так и совершенно невероятные. Именно здесь пребывают математические модели столов и стульев, которыми можно воспользоваться в «виртуальной реальности», а также модели черных дыр и ураганов.

Имеем ли мы право утверждать, что платоновский мир действительно является «миром» — миром, который «существует» в том же смысле, в каком существуют прочие два мира? Читателю, возможно, покажется, что это вовсе не мир, а просто какой-то пыльный склад для абстрактных концепций, которые понапридумывали математики. Однако существование мира математических идей опирается на фундаментальный, вневременной и универсальный характер этих самых идей и на тот факт, что описываемые ими законы никоим образом не зависят от тех, кто их открыл. Этот «склад» (если это и впрямь склад) построен не нами. Натуральные числа были в этом мире задолго до того, как на Земле появились первые человеческие существа — да и все остальные существа, если уж на то пошло, — и останутся после того, как вся жизнь во Вселенной исчезнет. То, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов, было истиной всегда, а вовсе не стало ею вдруг после того, как Лагранж призвал из небытия соответствующую теорему. Натуральные числа, настолько большие, что оказываются не по зубам любому компьютеру, какой вы можете вообразить, все равно являются суммами четырех квадратов, пусть даже мы никогда и не узнаем, квадратов каких именно чисел. Всегда будет истинным утверждение, что общей вычислительной процедуры для установления факта незавершаемости действия машины Тьюринга не существует, и оно всегда было истинным, задолго до того, как Тьюрингу пришло в голову его определение вычислимости.

Тем не менее, многие возражают, утверждая, что абсолютный характер математической истины никоим образом не является аргументом в пользу реальности «существования» математических концепций и математических истин. (Время от времени я слышу, что математический платонизм якобы устарел. Разумеется, мне известно, что сам Платон умер что-то около 2340 лет назад, однако едва ли это можно считать достаточной причиной! Более серьезную причину могут составить трудности, с которыми порой сталкиваются философы, пытаясь обосновать целиком и полностью абстрактный мир, способный оказывать реальное воздействие на мир физический. Эта фундаментальная проблема, собственно, является частью одной из тех загадок, к которым мы очень скоро перейдем.) На деле же идея реальности математических концепций вполне естественна для математиков, чего нельзя сказать о тех, кто никогда не испытывал радости исследования чудес и тайн того мира. Впрочем, на данном этапе от читателя не требуется соглашаться с тем, что математические концепции действительно образуют «мир», реальность которого сравнима с реальностью физического и ментального миров. Различия во взглядах на природу математических концепций для нас пока существенной роли не играют. Можете, если хотите, рассматривать «платоновский мир математических форм» как риторическую фигуру, введенную для удобства последующих рассуждений. Когда мы доберемся до трех загадок, связывающих эти три «мира», причина именно такого выбора слов, возможно, станет несколько яснее.

Что же это за загадки? Для начала взгляните на рис. 8.1. Первая загадка: почему столь точные и фундаментальные математические законы играют такую важную роль в поведении физического мира? Кажется, что сам мир физической реальности каким-то таинственным образом возникает из платоновского мира математики. Этот процесс проиллюстрирован направленной вниз стрелкой на рисунке справа — от платоновского мира к физическому. Вторая загадка: как физический мир порождает восприятие объектов в сознании? Каким таким таинственным образом сложно организованные материальные объекты производят из самих себя объекты ментальные? Этот процесс представлен на рис. 8.1 стрелкой внизу, направленной от физического к ментальному миру. И наконец, последняя загадка: как мысль «творит» из той или иной ментальной модели математическую концепцию? Эти по виду нечеткие, ненадежные и часто вовсе неподходящие ментальные инструменты, доставшиеся нам, похоже, в комплекте с ментальным миром, каким-то таинственным образом оказываются, тем не менее, способны (по крайней мере, когда они «в ударе») производить из пустоты абстрактные математические формы, открывая нам тем самым доступ, через посредство понимания, в платоновское царство чистой математики. Этот процесс символизирует стрелка слева на рисунке, направленная вверх, от ментального миру к платоновскому.