Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии - [46]

Надеясь, что читателя не слишком сильно отпугивает терминология, попытаюсь ввести еще одно важное понятие — аттрактор. На примере затухающего движения маятника мы видели, как кривая, описывающая его траекторию, приближается к нулевой точке. Точка эта в некотором смысле притягивает к себе кривую или, иными словами, становится аттрактором. В случае хаотического движения состояние покоя не наступает никогда, однако и здесь мы можем говорить о существовании аттрактора. Допустим, некая траектория начинается где-то вблизи от так называемого аттрактора; войдя в данную пространственную область — в область притяжения — кривая уже никогда больше не покинет ее. Здесь кривая и будет кружить вечно; однако — как уже было упомянуто — так никогда и не сумев заполнить собою всего доступного ей пространства.

Поскольку характеристики подобных кривых не особенно наглядны при рассмотрении в трех или более измерениях, предпринимались попытки описать такие траектории, использовав пространства меньшей размерности. Очень важный вклад в эти исследования внес Пуанкаре. На рис. 13.6 представлено отображение, названное его именем.

^{Рис. 13.6. Построение отображения Пуанкаре. В предлагаемом примере траектории движутся в трехмерном пространстве и пробивают при этом вложенную плоскость сечения. Координаты точек пробива образуют последовательность х1, x2, …}

С помощью отображения Пуанкаре стало возможно представить непрерывную кривую в виде последовательности отдельных, т.е. дискретных, точек х₁, x₂, ... Математики и физики-теоретики, кстати, склонны при случае к разного рода шуткам и играм: в конце концов такие шутки часто оказываются весьма полезны и в высшей степени продуктивны и поучительны, так как способствуют углублению взглядов на имеющие место закономерности. Одной из подобных забав казалось поначалу выдвижение в качестве постулата предположения о наличии зависимости между последовательными точками х_п. Например, координата точки на пятом витке кривой ровно в α раз больше, чем координата точки на четвертом витке. Правда, это еще не дает нам возможности сделать ни одного хоть сколько-нибудь интересного заключения (рис. 13.7).

^{Рис. 13.7. Схематическое описание зависимости между координатой хп точки, достигнутой кривой на n-м витке, и координатой следующей за ней точкой xn+i, n = — 1, 2, 3, . ... Если эта зависимость линейна, как в данном случае, то не происходит ничего примечательного. При α < 1 точки сходятся к некоторой нулевой точке, при α > 1 — расходятся в бесконечность, в чем легко убедиться посредством итераций предлагаемого отображения}

Если α < 1, то точки в конечном счете сходятся к нулевой точке; в остальных случаях, т.е. при α > 1, точки расходятся в бесконечность. При α = 1 все точки совпадают. Однако рассматривая следующие по степени сложности кривые — например параболическую зависимость х_п+1 от х_п— мы вдруг сталкиваемся с массой удивительнейших явлений.

^{Рис. 13.8. Простейшая после линейной параболическая зависимость координаты хп + 1 от предыдущего значения хn}

При увеличении высоты α (рис. 13.8) возникает совершенно иная последовательность значений х_п; несколько первых элементов этой последовательности представлены на рис. 13.9.

^{Рис. 13.9. Динамика изменений значения хп в зависимости от высоты α (см. рис. 13.8); при малых α значение хп остается постоянным. Если же α увеличивается, то при превышении некоторого критического значения возникает циклическое движение, при котором период достижения исходного состояния удваивается (сравните с первой частью рисунка). При дальнейшем увеличении α продолжительность периода удваивается еще раз (т. е. теперь она превышает начальную в 4 раза), затем — с очередным повышением величины α — вновь удваивается (и отличается от начальной уже в 8 раз) и т. д. В таких сериях обнаружен ряд любопытнейших самоподобных свойств}

При вполне определенных значениях α период, необходимый кривой для достижения исходной величины х_п, удваивается; в этом случае можно говорить о последовательности удвоений периода. При некоторой предельной величине α эти удвоения периода переходят в совершенно неупорядоченную последовательность значений х_п, т.е. перед нами снова проявление хаотического поведения. Зигфрид Гроссман и С. Томе обнаружили здесь в высшей степени интересные общие закономерности; однако мы, похоже, углубляемся в излишние подробности — заинтересованных читателей я отсылаю к специальной литературе. Впрочем, добавлю еще, что проиллюстрированное на рис. 13.8 уравнение называется логистическим и применяется для описания неупорядоченных изменений, происходящих, например, в популяциях насекомых (о них уже упоминалось в предыдущей главе). Удвоение периода — это лишь один из путей к хаосу. Одно время, правда, считалось, что этот путь — единственный; однако затем были обнаружены и другие пути, и сегодня нам известно, что существует бесконечное множество различных способов достижения хаотического состояния — например, изменение какого-либо из параметров безобидного на первый взгляд эксперимента.

Приручение хаоса

Отличительной чертой хаотических процессов является их неупорядоченность и непредсказуемость. Это, в общем-то, существенно затрудняет настройку лазера, испускающего хаотический свет, ведь хотелось бы получить исключительно упорядоченные световые волны. Совершенно аналогично обстоит дело и со множеством других процессов, и не только в физике. Поэтому нет ничего удивительного в том, что ученые задались вопросом «а нельзя ли приручить хаос?»; иными словами, они попытались преобразовать неупорядоченное движение назад в равномерное. В ряде случаев это действительно возможно, и типичным примером тому может служить все тот же лазер. В главе 5 уже говорилось о том, что излучение лазером световых волн зависит от мощности накачки — т. е. от количества подаваемой энергии. При повышении мощности накачки возрастает и интенсивность испускаемого лазером света; в обратном случае, т. е. при снижении мощности накачки, интенсивность падает. Однако попутно здесь возникает и возможность управления «хаотичностью» лазерного света. Ничто не мешает нам создать электронное устройство контроля мощности накачки, основанное на измерении интенсивности испускаемого света: при увеличении интенсивности оно будет снижать мощность накачки, при уменьшении же интенсивности, напротив, повышать. Этот простой рецепт и в самом деле оказался хорош: с его помощью ученым удалось стабилизировать хаотический лазерный свет, принудив лазер испускать свет абсолютно равномерно в удивительно большом диапазоне интенсивности.