Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии - [45]

Теперь перейдем к случаю движения реального маятника. Через некоторое время после того, как маятник получит начальный толчок, он должен будет остановиться под воздействием силы трения; с течением времени и амплитуда, и скорость маятника неизменно уменьшаются, что в конце концов придает фазовой кривой вид сходящейся к центру спирали (рис. 13.2).

^{Рис. 13.2. Затухающие колебания маятника: траектория сходится к нулевой точке, называемой также фокусом}

Чтобы маятник и в этом случае двигался по траектории, описанной для идеального случая и называемой предельным циклом, необходимо обеспечить постоянное поступление дополнительной энергии (так, бывает, машинально покачивают люльку). Незатухающие колебания маятника характеризуются совершенно определенным временным периодом, который можно замерить. В случае же затухающего движения свободно качающийся маятник, к сожалению, со временем теряет скорость и переходит в состояние покоя. Однако если маятник соединить с механизмом, который снова и снова «подталкивал» бы его, то мы получим нечто вроде часов; в действительности такая конструкция применялась многократно и в различных вариантах — сначала в чисто механическом исполнении, а затем в сочетании с кварцевым резонатором.

Маятник можно рассматривать как прототип колебательных процессов в различных областях; более того, бытует мнение, что именно такими предельными циклами или составленными из них кривыми задаются наиболее интересные траектории в фазовой плоскости — или в «фазовых пространствах» большей размерности. Кроме того, метеорологу Эдварду Лоренцу удалось сделать потрясающее открытие: исследуя динамику жидкости, он обнаружил, что уже в трехмерных моделях могут появляться совершенно поразительные траектории; один из примеров показан на рис. 13.3. Так был открыт хаос, а говоря точнее — открыт заново; в двенадцатой главе мы уже упоминали о том, что знаменитый французский математик Анри Пуанкаре занимался изучением разных типов хаотического движения еще на рубеже веков.

^{Рис. 13.3. Аттрактор Лоренца. Изображающая точка траектории сначала совершает вращательное движение в одной области пространства, а затем вдруг' совершенно неожиданно перескакивает в другую область и некоторое время продолжает движение там; по истечении некоторого времени происходит новый «скачок» — обратно в исходную область — и т.д. Хотя описанное движение и удовлетворяет детерминистским уравнениям, прыжки выглядят как чисто случайные}

Как показал мой бывший докторант Готтфрид Майер-Кресс, хаотическое движение весьма просто реализуется с помощью конструкции, называемой колесом Пола. Маятник пружиной соединен с рычагом, совершающим вследствие вращения двигателя периодическое возвратно-поступательное движение. Когда сцепление невелико, движение рычага вызывает вынужденные колебания маятника. Таким образом возникают траектории, подобные той, что показана на рис. 13.1. Однако стоит увеличить сцепление, как картина внезапно меняется; обнаруживается некая «точка перехода», изменяющая период колебания маятника: чтобы вернуться назад в исходное положение, маятнику теперь требуется в два раза больше времени. После нескольких подобных промежуточных стадий, вызываемых повышением сцепления, движение маятника становится уже совершенно неупорядоченным, или хаотическим. Итак, очевидно, что порождение хаоса — задача не из сложных.

Естественно, математики и физики-теоретики задумывались о том, каким образом можно характеризовать подобные хаотические траектории более точно. В первую очередь остановимся на феномене, который я называю «эффектом лезвия» (см. рис. 12.2); в научной же терминологии этот феномен известен как чувствительность к исходным условиям. Рассмотрим две траектории, поначалу проходящие в непосредственной близости друг от друга в фазовом пространстве. Как можно убедиться, они очень быстро расходятся — расстояние между ними увеличивается по экспоненте. Соответствующую кривую, описывающую скорость увеличения расстояния, называют еще экспонентой Ляпунова.

Следующим характерным свойством хаотических траекторий является их самоподобие. Продемонстрируем этот феномен на примере кривой, построенной шведским математиком Хельге фон Кохом еще в 1904 году (рис. 13.4).

^{Рис. 13.4. Пример фрактальной кривой — кривая Коха. Для получения такой кривой на средней трети каждой из сторон равностороннего треугольника следует построить новый равносторонний треугольник; процесс может быть продолжен до бесконечности}

Помимо прочего, феномен этот демонстрирует одно любопытное следствие: невозможно со всей определенностью сказать, при каком увеличении мы рассматриваем семейство таких кривых (рис. 13.5): они выглядят одинаково в самых различных масштабах. Наконец, мы можем представить себе хаотические траектории как клубок шерсти, сквозь который снова и снова продевается нить. Шерсть в таком клубке заполняет пространство не полностью, а лишь частично; в этом случае говорят о фрактальной, т.е. дробной размерности кривой.

^{Рис. 13.5. Самоподобие на примере хаотического аттрактора: при увеличении какой-либо подобласти заметного изменения картины не происходит, вследствие чего невозможно определить, с каким увеличением представлен аттрактор}