Страницы автобиографии - [11]
Эта касающаяся меня терминологическая деталь была по живым следам отмечена в статьях М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника, посвящённых истории Московской математической школы, а позже и в статье Л. В. Келдыш. Мне этот вопрос о моём приоритете в данном случае никогда не был безразличен, ведь он касался моего первого и (может быть, именно поэтому) самого дорогого мне результата.
Много лет спустя Н. Н. Лузин стал называть A-множества аналитическими множествами и стал, вопреки хорошо известным ему фактам, утверждать, что термин A-множество есть лишь сокращение от «аналитические множество». Но к этому времени мои личные отношения с Н. Н. Лузиным, когда-то глубокие и проникновенные, были, по существу, утрачены.
Как только было доказано, что всякое B-множество является A-множеством, естественно возник вопрос, не является ли обратно всякое A-множествоB-множеством. Именно об этом вопросе и шла, конечно, речь в беседах, которые тогда велись в Москве в связи с моей работой. Легко было доказать, что всякое A-множество есть пересечение B-множеств, взятых в числе >1א, или что всякое множество, дополнительное к A-множеству, есть сумма >1א борелевских слагаемых. Это знали и я, и Суслин и, конечно, Н. Н. Лузин. Весь вопрос был в том, не обрывается ли этот процесс трансфинитного суммирования уже на счётном шаге. Я посвятил всю зиму 1915–1916 гг. и всё следующее лето доказательству того, что этот обрыв действительно происходит. Мои чрезвычайно упорные размышления прекратились только тогда, когда ранней осенью 1916 г. стало известным, что Суслин этим же летом построил пример А-множества, не являющегося В-множеством и этим открыл новый этап в развитии всей дескриптивной теории множеств.
Когда Урысон и я летом 1924 г. были у Хаусдорфа и говорили с ним много, в частности, и о дескриптивной теории множеств, Хаусдорф в упор задал нам вопрос: как же надо называть новые множества, которые Лузин всюду пропагандирует под названием аналитических? Я твёрдо ответил Хаусдорфу, что Суслин (уже умерший почти 5 лет назад) был первым математиком,
В январе 1917 г. в Comptes Rendus Парижской Академии наук была опубликована отредактированная Н. Н. Лузиным и переведённая им на французский язык заметка Суслина, в которой излагались его замечательный пример А-множества, не являющегося борелевским, а также основные теоремы теории А-множеств. Заметка имеет непонятное заглавие «Определение борелевских множеств без трансфинитных чисел». Это заглавие было бы уместно, если бы Суслин доказывал совпадение классов A- и B-множеств, а не наоборот, различие этих классов.
Зиму 1915–1916 гг. мы с Сашей Богдановым прожили вместе, снимая комнату со столом в Хлебном переулке. К весне студентов начали призывать и направлять в военные училища, имея в виду последующее по окончании училища производство в офицеры. В военное училище поступил и Саша. Окончив его в начале 1917 г. он офицером был отправлен в воинскую часть — сначала пехотную, но скоро был переведён в артиллерийскую часть, расквартированную в маленьком городке Новгород-Северске Черниговской губернии. Что касается меня, то после проведённого в Михееве лета 1916 г. я поселился у своего брата Михаила Сергеевича, у которого прожил до конца 1917 г., лишь на лето уезжая в Михеево.
В самом конце 1917 г. я переселился от брата на Зацепу, где мне удалось снять хорошую комнату с полным пансионом в семье железнодорожников. В то время уже начавшихся продовольственных затруднений это было большой удачей. Всю эту зиму я преподавал в двух женских гимназиях: в гимназии С. Н. Фишер, помещавшейся в одном из переулков Остоженки (ныне Метростроевская) и в гимназии Винклер на Чистых прудах. Мои уроки в обеих этих гимназиях имели такое расписание, что заполняли 4 дня в неделю. В эти дни я с раннего утра отправлялся пешком (трамваи практически не ходили) сначала по улице Садовники (теперь улица Осипенко) через Устьинский мост на Чистопрудный бульвар в гимназию Винклер. Дав там свои уроки, я далее отправлялся (тоже, конечно, пешком) по Мясницкой (ныне улица Кирова) через центр Москвы и далее на Остоженку в гимназию Фишер. После занятий я шёл по Крымскому валу и Замоскворецкой части Садового кольца к себе на Зацепу. Домой я возвращался только к вечеру и вечером иногда ещё давал частный урок у себя дома. Остаток вечера я занимался только чтением «Войны и мира» и прочитал всю эту книгу с начала до конца с большим увлечением.
В качестве научной проблемы для размышлений Н. Н. Лузин поставил передо мною не более и не менее как континуум-проблему в её общей формулировке. Я стал думать над ней все имевшиеся для математических занятий три дня в неделю. Я сформулировал для себя следующую аксиому, казавшуюся мне несомненно верной: каждому трансфинитному числу α можно поставить в соответствие такое число μ(α) < α, что различным α всегда соответствуют различные μ(α). Приняв эту аксиому, я получил, как мне кажется, совершенно аккуратное доказательство того, что мощность континуума равна мощности >1א. У меня не было и нет оснований сомневаться, что все рассуждения, сводящие континуум-проблему к моей аксиоме, были правильными. Записав с полной тщательностью своё доказательство (оно заняло целую довольно толстую тетрадь), я стал думать об утверждении, принятом мною за аксиому. Через несколько дней этих размышлений я убедился в том, чтофункции μ(α) заведомо не может существовать. Полученное мною (на этот раз уже верное) предложение было впоследствии мною даже опубликовано в виде дополнительного замечания к совместному с П. С. Урысоном мемуару «О компактных топологических пространствах». Это предложение о трансфинитных числах разными авторами усиливалось и вошло, например, в известный учебник Бахмана.
