Сочинения в двух томах. Том 1 - [49]
Я уже заметил, что хотя геометрия, или искусство, с помощью которого мы устанавливаем соотношения между фигурами, сильно превосходит как по всеобщности, так и по точности смутные суждения чувств и воображения, однако она никогда не достигает совершенной верности и точности>34. Ее первые принципы все же получаются на основании общего вида объектов, а этот общий вид не может дать нам никакой уверенности, когда мы исследуем ту удивительную малость [отношений и различий], которая встречается в природе. Наши идеи, по-видимому, дают нам полную уверенность в том, что две пересекающиеся прямые линии не могут иметь общего отрезка; но если мы рассмотрим эти идеи, то обнаружим, что в них всегда предполагается доступный восприятию наклон двух линий друг к другу; если же угол, образуемый последними, крайне мал, то у нас уже не окажется такого точного образца прямой линии, при помощи которого мы могли бы убедиться в истинности этого суждения. Так же обстоит дело с большинством основных положений математики.
Итак, в качестве единственных наук, в которых цепь рассуждений может быть доведена до некоторой степени сложности, сохраняя в то же время совершенную точность и достоверность, остаются алгебра и арифметика. Мы располагаем точным мерилом, с помощью которого можем судить о равенстве и соотношении чисел, и в зависимости от того, соответствуют они или нет этому мерилу, мы определяем их отношения без всякой опасности ошибиться. Когда два числа составлены таким образом, что каждая единица в одном из них всегда отвечает каждой единице в другом, мы признаем их равными; и как раз из-за отсутствия такого мерила равенства для протяжения геометрия едва ли может считаться совершенной и непогрешимой наукой.
Но здесь, пожалуй, не мешает предупредить одну трудность, которая может быть вызвана моим утверждением, что хотя геометрии и недостает совершенной точности и достоверности, свойственных арифметике и алгебре, однако она превосходит несовершенные суждения наших чувств и воображения. Причина, в силу которой я вообще приписываю геометрии какой-либо недостаток, состоит в том, что ее первичные и основные принципы выводятся исключительно из общего вида объектов; и можно, пожалуй, вообразить, что этот недостаток всегда должен быть свойствен ей и мешать достижению ею большей точности в сравнении объектов или идей, чем та, которой может достигнуть сам по себе наш глаз или наше воображение. Я допускаю, что этот недостаток настолько свойствен геометрии, что он мешает ей надеяться па достижение когда-либо полной достоверности; но ввиду того, что ее основные принципы обусловливаются самыми простыми и наименее обманчивыми явлениями, они сообщают своим следствиям такую степень точности, какой сами по себе эти следствия не могли бы иметь. Мы не в состоянии определить на глаз, что углы тысячеугольника равны 1996 прямым углам, или же составить какое-нибудь приблизительное предположение об этом отношении; но когда мы определяем [на глаз], что [пересекающиеся] прямые линии не могут иметь общего отрезка и что мы не можем провести больше одной прямой между двумя данными точками, то наши ошибки никогда не могут быть сколько-нибудь значительными. Особенность, а равно и польза геометрии состоят как раз в том, что последняя приводит нас к таким явлениям объектов, которые в силу своей простоты не могут ввести нас в значительные заблуждения.
Теперь я воспользуюсь случаем, чтобы изложить второе замечание относительно наших демонстративных заключений, вызываемое тем же предметом математики. Математики имеют обыкновение утверждать, что идеи, являющиеся объектом их изучения, так утонченны и духовны по природе, что они не могут быть представлены воображением, а должны быть постигнуты с помощью чистого интеллектуального созерцания, доступного лишь высшим способностям души. Та же мысль проводится и в большинстве разделов философии, причем ею пользуются главным образом для того, чтобы объяснить наши абстрактные идеи и показать, как мы можем образовать идею, например, такого треугольника, который не будет ни равнобедренным, ни разносторонним и не окажется определенным ни по длине, ни по соотношению своих сторон. Легко заметить, почему философам так нравится эта мысль о каких-то утонченных духовных восприятиях: ведь с помощью последних они могут замаскировать многие из своих нелепостей и отказаться от подчинения выводам из ясных идей, ссылаясь на идеи темные и недостоверные. Но чтобы раскрыть эту уловку, нам стоит только поразмыслить над принципом, на который мы уже так часто ссылались и который гласит, что все наши идеи скопированы с наших впечатлений. Ибо, исходя из него, мы можем непосредственно заключить, что поскольку все наши впечатления ясны и точны, то и идеи, с них скопированные, должны быть той же самой природы и разве только по нашей вине могут заключать в себе что-либо темное и запутанное. Идея по самой своей природе более слаба и смутна, чем впечатление, но, будучи во всех других отношениях тождественна последнему, она не может заключать в себе особенно большой тайны. Если слабость идеи делает ее смутной, то наше дело по возможности исправлять этот недостаток, сохраняя идею неизменной и точной; и пока мы этого не сделали, нам незачем претендовать на рассуждение и философию.
