Сейчас. Физика времени - [113]

Той же процедурой можно воспользоваться в теории относительности и квантовой физике, а также в их комбинации, известной как релятивистская квантовая механика. Комбинация, которая не меняется со временем, здесь выглядит немного иначе, но мы все равно называем ее импульсом. Она содержит релятивистские члены – а также электрическое и магнитное поля и квантовые эффекты, – но по традиции мы продолжаем называть ее импульсом.

Тесная связь между временем и энергией переносится и в квантовую физику с ее принципом неопределенности. Согласно квантовой физике, энергия и импульс части системы обычно неопределенные, хотя мы и можем их определить. Вероятно, нет возможности точно измерить энергию конкретного электрона или протона, но принцип не предусматривает аналогичной неопределенности для полной энергии системы. В большом наборе частиц энергия может перемещаться между различными частями системы, но полная ее энергия фиксирована; она сохраняется.

В квантовой физике поведение волновой функции во времени имеет слагаемое e^iEt, где I = √−1, E – энергия, t – время. Когда Дирак решил свое уравнение для электрона, обнаружил, что в нем содержатся отрицательные энергии; именно это вынудило его предположить, что Вселенная представляет собой бесконечное море электронов с отрицательной энергией. Фейнман нашел этому другую интерпретацию. Он предположил, что отрицательной величиной оказывается не энергия E, а время t, тоже присутствующее в качестве сомножителя. Вместо отрицательной энергии у него появились электроны, движущиеся назад во времени, и Фейнман опознал в них позитроны.

В теории относительности физики видят пространство и время тесно переплетенными, а их комбинация носит название пространство-время. Инвариантность физики во времени ведет к сохранению энергии системы. Инвариантность в пространстве ведет к сохранению импульса. Если совместить то и другое, то инвариантность физики в пространстве-времени ведет к сохранению величины, известной как энергия-импульс. Ученые рассматривают энергию и импульс как два аспекта одного и того же. С этой точки зрения они скажут, что энергия – четвертый компонент четырехмерного вектора энергии-импульса. Если три компонента импульса обозначить как p_x, p_y и p_z, то вектор энергии-импульса будет выглядеть как (p_x, p_y, p_z, E). Разные физики расставляют эти четыре компонента в разном порядке. Некоторые считают энергию настолько важной, что ставят ее на первое место. Тогда они называют энергию нулевым, а не четвертым компонентом вектора: (E, p_x, p_y, p_z).

Электрическое и магнитное поля тоже объединены в теории относительности, но более сложным способом. Вместо трехмерного вектора электрического поля (E_x, E_y, E_z) и трехмерного вектора магнитного поля, обычно записываемого (B_x, B_y, B_z), в теории относительности они становятся компонентами четырехмерного тензора F (от field – поле), который записывается так:

Матрица кажется сложной, и каждый компонент в ней повторяется дважды, но у нее есть преимущество: чтобы получить новый тензор F в другой системе отсчета, мы пользуемся теми же релятивистскими уравнениями, которые применяли при поиске пространственных координат и времени. Кроме того, вместо включения в наши уравнения отдельно электрического и магнитного полей просто включаем туда F. Уравнения при этом выглядят проще. Это позволило объединить электрическое и магнитное поля – то есть сделать их как бы частями одного более крупного объекта, тензора поля, а не двух отдельных сущностей.

Приложение 3 Доказательство иррациональности √2

Если предположить, что число √2 рационально, это будет означать, что это число можно записать в виде I/J, где I и J – целые числа. А теперь, если удастся свести это утверждение к противоречию, мы докажем, что наше первоначальное предположение ложно.

Если I и J четные, можем упростить дробь на общий делитель 2 и повторить это действие столько раз, сколько понадобится, чтобы хотя бы одно из этих чисел стало нечетным. Это значит, что если √2 = I/J, то можно записать также √2 = M/N, где по крайней мере одно из чисел M и N или оба нечетные.

M/N = √2. Возведем это уравнение в квадрат и умножим на N, получим M² = 2N². Поскольку M² получается умножением на два, это число четное. Значит, M тоже четное, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный. А теперь я покажу, что N тоже четное.

Поскольку M четное, мы можем записать его как M = 2K, где K – еще одно целое число. Возведя это уравнение в квадрат, получим M² = 4K². Чуть ранее мы показали, что M² = 2N², поэтому 2N² = 4K². Разделив на 2, получим N² = 2K². Следовательно, число N² четное, а значит, и N – тоже четное.

Мы получили противоречие с нашим выводом, что хотя бы одно из чисел M и N должно быть нечетным. Единственной возможной причиной (поскольку в остальном мы строго следовали правилам математики) оказывается то, что наше первоначальное предположение – о том, что √2 можно записать как I/J, – неверно. Таким образом, иррациональность √2 доказана.

Этот результат так интересен, в частности, потому, что его никак невозможно получить в рамках физики. Никакое измерение не в состоянии продемонстрировать, что число √2 иррационально. Это истина, лежащая за пределами физических измерений; она существует только в человеческом сознании. Это нефизическое знание.