Сейчас. Физика времени - [109]

. Воспользовавшись первым преобразованием Лоренца для времени, получим:

T₂ = γ(t₂ − x₂v/c²);

T₁ = γ(t₁ − x₁v/c²).

Вычитаем одно уравнение из другого и подставляем Δt, ΔT и Δx:

ΔT = γ(Δt − Δxv/c²).

В особом случае, когда в системе Джона оба события происходят одновременно (то есть когда Δt = 0), уравнение упрощается до вида:

ΔT = −γΔxv/c².

Замечательность результата в том, что ΔT – необязательно нуль. Это значит, что в собственной СО Мэри эти события необязательно одновременны, хотя в собственной СО Джона они происходят в один и тот же момент времени. Если я обозначу расстояние между двумя событиями Δx = −D (знак здесь может быть как плюс, так и минус, в зависимости от расположения x₁ и x₂), уравнение примет вид:

ΔT = γDv/c².

Если ни v, ни D не равны нулю, ΔT тоже не равно нулю, и это означает, что два события не одновременны в системе Мэри. Это «временной скачок», который возникает у отдаленного события при переключении с одной системы отсчета на другую. Скачка не возникает, если D = 0, то есть если два события происходят в одной точке (скажем, если Джон и Мэри вновь соединятся). ΔT может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знаков D и v.

Скорости объектов и скорость света

Здесь я покажу, почему скорость света одинакова во всех системах отсчета.

Если некоторый объект движется, мы можем обозначить как x₁ его координату в момент времени t₁ и как x₂ – его координату в момент t₂. Представьте, что на самом деле это два события. Скорость нашего объекта такова: v = (x₂ − x₁)/(t₂ − t₁) = Δx/Δt. В другой системе отсчета: V = (X₂ − X₁)/(T₂ − T₁) = ΔX/ΔT. Мы можем воспользоваться преобразованием Лоренца, чтобы сравнить эти две величины. Обозначим буквой u относительную скорость двух СО, чтобы можно было использовать v и V для обозначения скорости объекта в каждой из двух систем. Запишем преобразование для двух событий и вычтем одно из другого:

ΔX = X₂ − X₁ = γ[(x₂ − x₁) − u(t₂ − t₁)] = γ[Δx − uΔt];

ΔT = T₂ − T₁ = γ[(t₂ − t₁) − u(x₂ − x₁)/c²] = γ[Δt − uΔx/c²].

А теперь разделим одно уравнение на другое, чтобы исключить γ:

Это уравнение для преобразования скорости, позволяющее выразить скорость V во второй системе отсчета через v – скорость в первой системе отсчета.

Пусть v = c, то есть объект (к примеру, фотон) движется со скоростью света в первой СО. Во второй системе отсчета его скорость равна:

вне зависимости от u, относительной взаимной скорости двух систем отсчета. Если v = c, то V = c. Объекты, движущиеся со скоростью света в какой-то одной системе отсчета, движутся с той же скоростью и во всех остальных системах. Попробуйте подставить в уравнение v = −c и посмотрите, что получится. Удивлены?

Аналогичный вывод показывает, что c не меняется даже при произвольном направлении света[277].

Этот результат объясняет неудачу опыта Майкельсона−Морли в 1887 году, когда исследователи хотели обнаружить разницу скорости света в двух направлениях, первое из которых параллельно движению Земли, а второе – перпендикулярно этому движению.

Время-перевертыш

Очень интересные вещи происходят, если два разделенных события близки по времени. Воспользуемся еще одним уравнением (взятым из приведенных выше рассуждений об одновременности):

ΔT = γ(Δt − vΔx/c²) = γΔt[1 − (Δx/Δt)(v/c²)].

Определим ∆x/∆t = VE. Это псевдоскорость, которая «соединяет» два события. Записанное нами вовсе не означает, что чему-то действительно придется двигаться от одного события к другому; это просто скорость, с которой нужно было бы двигаться, чтобы присутствовать при обоих событиях. Может ли V_E быть больше c? Да, конечно. Любые два разделенных события, которые происходят одновременно, имеют бесконечную V_E. Это не физическая скорость. Используя эту новую величину, мы можем записать:

ΔT = γΔt(1 − VEv/c²).

Будем считать для примера, что разность ∆t положительна. Уравнение показывает, что ∆T, в принципе, может быть и отрицательной. Для этого нужно всего лишь, чтобы отрицательное слагаемое в скобках было по модулю больше 1. Это означает, что в новой системе порядок событий может смениться на обратный. Такой результат может повлечь за собой самые разные следствия для причинной зависимости.

Чтобы V_Ev/c² было больше единицы, V_E/c должно быть больше, чем c/v. Не забывайте, v – это скорость, связывающая две системы отсчета; она в любых обстоятельствах должна быть меньше c. Это означает, что c/v всегда будет больше единицы. Это уравнение говорит, что если V_E/c больше, чем c/v (что тоже делает его больше единицы), то порядок событий в двух системах отсчета меняется на обратный. Еще раз обратите внимание, что величина V_E ничем не ограничена, поскольку это всего лишь псевдоскорость, призванная «соединить» два события, и что для двух сильно разнесенных в пространстве событий, но происходящих одновременно, величина V_E будет бесконечна.

Математика парадокса шеста и сарая

Обратимся вновь к главе 4. В системе отсчета, связанной с сараем, шест входит концом в дверь и продолжает двигаться, пока не упрется в заднюю стену. Определим t₁ = 0 как момент, когда передний конец шеста доходит до задней стены, и выберем систему координат так, что в этой точке