Сейчас. Физика времени - [108]

X = γ(x − vt)

T = γ(t − xv/c²),

где c – скорость света, а коэффициент замедления времени гамма представлен греческой буквой γ и задается как γ = 1/√(1 − β²), где греческая буква β (бета) представляет отношение скорости объекта к скорости света (β = v/c). По умолчанию в этих уравнениях считается, что особое событие (0, 0) в обеих системах отсчета имеет одинаковые координаты.

Хендрик Лоренц был первым, кто записал эти уравнения и показал, что Максвелловы уравнения электромагнетизма им удовлетворяют. Но только Эйнштейн сумел понять, что они представляют реальные изменения в поведении пространства и времени, а затем и применить их для вывода новых уравнений физики. Уравнения Максвелла при этом изменять не потребовалось, а вот уравнения Ньютона пришлось менять, и Эйнштейн заключил, помимо всего прочего, что масса движущихся объектов увеличивается (я говорю здесь о релятивистской массе, рассчитываемой как γm) и что E = mc².

У преобразования Лоренца есть замечательное свойство: при решении его уравнений относительно x и t получаются уравнения одинакового вида, за исключением знака при скорости. (При решении используется довольно хитрая алгебра, и придется использовать приведенное выше определение γ, но попытайтесь.) Вот результат:

x = γ(X + vT);

t = γ(T + Xv/c²).

В сравнении с предыдущими уравнениями изменение знака (с − на +) – это именно то, чего и следовало ожидать, поскольку по отношению ко второй СО первая система движется со скоростью −v. Тем не менее кажется поразительным, что уравнение имеет тот же вид. Я бы ни за что не догадался, что так получится. Этот факт – часть чуда теории относительности, согласно которой все инерциальные системы отсчета равно годятся для записи уравнений физики.

Растяжение времени

А теперь рассмотрим растяжение времени. Мы будем пользоваться той же терминологией, что и в примере с парадоксом близнецов, о котором шла речь в главе 4. Напомню, что Мэри там отправляется к далекой звезде, тогда как Джон остается дома. Назовем первую систему отсчета системой Джона, а вторую, которая движется относительно первой со скоростью v, системой Мэри. (Это их собственные системы отсчета.) Рассмотрим два события: 1-й и 2-й дни рождения Мэри. Обозначим их время и место в системе Джона как x₁, t₁ и x₂, t₂. Место и время этих же событий в системе Мэри обозначим как X₁, T₁ и X₂, T₂.

А теперь подставим эти величины в уравнения Лоренца. Воспользуемся второй системой:

t₂ = γ(T₂ + X₂v/c²);

t₁ = γ(T₁ + X₁v/c²).

Вычтя второе уравнение из первого, получим:

t₂ − t₁ = γ[T₂ − T₁ + (X₂ − X₁)v/c²].

Возраст Мэри, измеренный в системе отсчета Мэри, составит T₂ − T₁. В этой системе отсчета Мэри не движется, поэтому X₂ = X₁, то есть X₂ − X₁ = 0. Поэтому уравнение упрощается до вида:

t₂ − t₁ = γ(T₂ − T₁).

Можно записать это уравнение в еще более простом виде, если использовать обозначение Δt = t₂ − t₁ и ΔT = T₂ − T₁. (Δ – заглавная греческая буква дельта, которая часто используется для обозначения разностей. Вслух Δt читается как «дельта тэ».) С использованием этого обозначения уравнение принимает вид:

Δt = γΔT.

Это и есть растяжение времени. Промежуток времени между двумя событиями в системе отсчета Джона больше, чем промежуток времени между теми же событиями в системе отсчета Мэри, в γ раз. В примере с парадоксом близнецов, описанном в главе 4, коэффициент γ равнялся 2, так что Мэри, чтобы постареть на 8 лет, потребуется (в системе отсчета Джона) 16 лет.

Линейное сжатие

А теперь посмотрим на линейное сжатие, или изменение длины. При измерении расстояния между объектами в любой системе отсчета мы отмечаем положение (координаты) объектов в один и тот же момент времени и вычитаем одно из другого. Расстояние между двумя одновременными событиями (t₂ = t₁) в собственной системе отсчета Джона составляет x₂ − x₁. Применим первую систему уравнений Лоренца к этим двум событиям:

X₂ = γ(x₂ − vt₂);

X₁ = γ(x₁ − vt₁).

Вычтя второе уравнение из первого, получим:

X₂ − X₁ = γ[x₂ − x₁ − v(t₂ − t₁)].

Поскольку для этого примера два события одновременны в системе отсчета Джона, t₂ = t₁, множитель (t₂ − t₁) = 0. При подстановке этого значения уравнение упрощается до вида:

X₂ − X₁ = γ(x₂ − x₁).

Расстояние между двумя событиями в собственной системе отсчета Джона составляет x₂ − x₁; обозначим эту величину Δx. Длина того же объекта в собственной системе отсчета Мэри (в которой объект покоится) составляет X₂ − X₁; обозначим это ΔX. Получаем уравнение:

Δx = ΔX/γ.

Это и есть уравнение линейного сжатия. Если длина объекта в собственной системе отсчета составляет ΔX, то при измерении в другой системе отсчета эта длина изменится в 1/γ раз. (Обратите внимание: γ всегда больше 1, поэтому длина, то есть линейный размер объекта уменьшится.)

Одновременность

Временная разница между двумя событиями равна t₂ − t₁ = Δt. В другой системе отсчета эти события происходят в моменты времени T₂ и T₁, а временной интервал в этой системе отсчета составит T₂ − T₁ = ΔT. Мы также обозначим разницу координат двух событий (то есть расстояние между ними) в системе Джона Δx, а расстояние между ними в системе Мэри Δ