Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [26]

, если скорости обоих мотоциклов одинаковы.

18.13. Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил догнать его на такси, однако через некоторое время пересел на автобус, заплатив за билет А p., и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем он обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы поезд на τ ч раньше, истратив при этом на В p. меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси v₁ км/ч, автобуса v₂ км/ч (v₁ > v₂), а стоимость проезда 1 км на такси а p.?

18.14. Товарный поезд, шедший из А в В, прибыл в С одновременно с пассажирским, шедшим из В в А со скоростью в m раз большей, чем скорость товарного поезда. Оба состава простояли t ч в пункте С, затем продолжили путь, причем каждый увеличил скорость на 25%. Товарный поезд прибыл в В на t₁ ч позже, а пассажирский в А на t₂ ч позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный поезд вышел из А, чем пассажирский из В?

18.15. Расстояние между пунктами А и В равно s км. Из пункта А в пункт В вылетел вертолет, а через t ч в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал вертолет в d км от А, долетел до В и сразу повернул обратно. В d км от В самолет встретил вертолет и вернулся в А позднее, чем вертолет прибыл в В. Насколько раньше вертолет прибыл в В, чем самолет вернулся в А?

18.16. В озеро впадают две реки. Пароход выходит из порта M на первой реке и плывет вниз по течению, затем через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй реке вверх по течению до порта N. Придя в N, пароход отправляется в обратный путь.

Известна собственная скорость парохода v и скорости течения рек: v₁ и v₂. На путь от M до N, равный по длине s, и на обратный путь пароход тратит одинаковое время t. Какое расстояние пароход проходит по озеру?

18.17. Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд. В этот же момент из В в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость курьерского в два раза больше скорости пассажирского. Скорый поезд прибывает в В в 13 ч 50 мин того же дня, а встречает курьерский поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Когда пассажирский поезд прибудет в пункт А, если между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа?

18.18. Завод должен получить 1100 деталей. На базе имеются комплекты по 70, 40 и 25 деталей. Стоимость пересылки одного комплекта равна соответственно 20, 10 и 7 p. Какие комплекты и в каком количестве следует заводу заказать, чтобы расходы по пересылке были наименьшими? Переупаковка комплектов на базе не допускается.

Глава 19 Последовательности и прогрессии

Рассмотрим функцию натурального аргумента а_n = f(n), где либо n = 1, 2, 3, ..., k, либо n = 1, 2, 3, ..., k, ... . Если при любых натуральных i и j, таких, что i < j, значение а_j считается последующим по отношению к а_i, то множество значений а_n этой функции образует последовательность.

Последовательность обозначают, записывая ее члены а_n один за другим в порядке возрастания номера n: а₁, a₂, а₃, ... .

Если номер n принимает значения n = 1, 2, 3, ..., k, то последовательность называется конечной. Если же n = 1, 2, 3, ... (т. е. n пробегает все натуральные числа), то последовательность называется бесконечной.

а_n = f(n) называется общим членом последовательности. Если для любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i < а_j, то последовательность называется возрастающей. Если при тех же условиях будет а_i > а_j, то последовательность называется убывающей. Если же при любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i ≤ а_j (а_i ≥ а_j), то последовательность называется неубывающей (невозрастающей).

Последовательность, в которой

а_{i + 1} = а_i + d

при всех натуральных i, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Имеют место формулы:

2а_n = а_{n + 1} + а_{n − 1};     а_n = а₁ + d(n − 1);

где S_n — сумма n первых членов прогрессии.

Последовательность, в которой

a_{i + 1} = qa_i

при всех натуральных i, причем q ≠ 0 и a_i ≠ 0, называется геометрической прогрессией, а число q называется ее знаменателем.

Для геометрической прогрессии имеют место формулы:

a_n = a₁q^{n − 1}; 

  a²_n = a_{n − 1}a_{n + 1}.

Вторая формула верна, если q ≠ 1. Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1, называется бесконечно убывающей.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно является убывающей последовательностью. Она может быть возрастающей, например, при a₁ = −1, q = ½ , а может быть колеблющейся: a₁ = 1, q = −½ .

Если для бесконечной последовательности существует конечный предел последовательности ее сумм S_n, т. е. существует

, то S называется суммой всех членов этой бесконечной последовательности.

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. В этом случае

19.1. Общий член последовательности

 Является эта последовательность возрастающей или убывающей?

19.2. Докажите, что если члены a_p, a_q, a_r, a_s арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность