Рассказ Предка - [20]

Прикладной математик пытается понять реальный мир, выстраивая его упрощенную версию – "модель". Модель облегчает понимание, и в то же время не теряет способности освещать действительность. Иногда модель дает нам базу, отправную точку, объясняющую реальный мир.

В создании математической модели для определения возраста общего предка всех живущих людей хорошим упрощающим допущением – своего рода игрушечным миром – является популяция постоянного размера, живущая на острове без иммиграции или эмиграции. Пусть это будет идеализированная популяция тасманийских аборигенов в более счастливые времена, прежде чем они были истреблены как сельскохозяйственные паразиты поселенцами девятнадцатого столетия. Последняя чистокровная тасманийка, Труганини, умерла в 1876 году, вскоре за своим другом "Королем Билли", мошонка которого была превращена в кисет (вспомните об абажурах нацистских ламп). Тасманийские аборигены были изолированы приблизительно 13 000 лет назад, когда сухопутные мосты с Австралией были затоплены возрастающим уровнем моря, и они не знали чужаков, пока не столкнулись с возмездием в их холокосте девятнадцатого века. Для наших задач моделирования мы полагаем, что Тасмания была вполне изолирована от остальной части мира в течение 13 000 лет вплоть до 1800 года. Наше условное "настоящее" в целях моделирования будет означать 1800 год нашей эры.

Следующим шагом является моделирование паттерна спаривания. В реальном мире люди влюбляются или устраивают браки, но здесь мы, разработчики модели, безжалостно заменяем детали человека послушной математикой. Существует более чем одна модель спаривания, которую мы смогли себе представить. В случайной диффузионной модели мужчины и женщины, ведущие себя как частицы, распространяющиеся от места своего рождения, с большей вероятностью столкнутся с более близкими, чем с отдаленными соседями. Еще более простая и менее реалистичная модель – случайное спаривание. Здесь мы совсем забываем о расстоянии и просто предполагаем, что строго в пределах острова спаривание между любым мужчиной и любой женщиной одинаково вероятно.

Конечно, ни одна из моделей ничуть не правдоподобна. Случайная диффузия предполагает, что люди блуждают в любом направлении от своей отправной точки. В действительности есть пути или дороги, которые их направляют: узкие каналы генов через островные леса и луга. Случайная модель спаривания еще более нереалистична. Не беда. Мы создаем модели, чтобы увидеть то, что происходит при идеальных, упрощенных условиях. Результат может оказаться непредсказуемым. Тогда мы должны обдумать, является реальный мир более неожиданным или менее, и в каком направлении.

Джозеф Чанг (Joseph Chang), следуя давней традиции математических генетиков, отдал предпочтение случайному спариванию. Его модель игнорировала размер популяции, считая его постоянным. Он не занимался конкретно Тасманией, но мы примем, снова для упрощения расчетов, что наше игрушечное население неизменно составляло 5 000 человек, что является одной из оценок исконного населения Тасмании в 1800 году, прежде чем началась резня. Я должен повторить, что такие упрощения очень существенны в математическом моделировании: это не слабость метода, а, в определенных задачах, сила. Чанг, конечно, верит в случайное спаривание людей, не больше, чем Эвклид верил в то, что у линий нет никакой толщины. Мы последуем за абстрактными предположениями, чтобы увидеть, к чему они ведут, и затем решим, имеют ли значение тонкие отличия от реального мира.

Итак, на сколько поколений Вы должны были бы возвратиться, чтобы обоснованно удостовериться, что обнаружите человека, который был предком всех живущих ныне людей? Ответ, рассчитанный из абстрактной модели – логарифм (с основанием 2) размера населения. Логарифм числа по основанию 2 — это то, сколько раз нужно перемножить 2 само на себя, чтобы получить это число. Чтобы получить 5 000 Вы должны умножить 2 на себя приблизительно 12,3 раза, поэтому для нашего тасманийского примера теория говорит нам вернуться на 12,3 поколений, чтобы найти сопредка. Принимая четыре поколения за столетие, это меньше, чем четыре столетия. Эта цифра даже меньше, если люди производят потомство раньше, чем в 25 лет.

Я даю название "Чанг Один" дате, когда жил последний общий предок некоторой конкретной популяции. Продолжая двигаться назад от Чанг Один, очень скоро мы попадем в пункт – я назову его "Чанг Два" – в котором все либо являются общими предками, либо не имеют никаких выживших потомков. Только в период краткого интервала между Чанг Один и Чанг Два действительно существует промежуточная категория людей, которые имеют некоторых выживших потомков, но не являются общими предками для всех. Удивительным выводом является то, что в Чанг Два большое количество людей – всеобщие предки: приблизительно 80 процентов людей в любом поколении будут теоретически предками всех, кто будет жить в отдаленном будущем.

Что касается расчета времени, математика дает результат, что Чанг Два приблизительно в 1,77 раза старше, чем Чанг Один. 1,77 помноженное на 12,3 дает лишь менее 22 поколений, от пяти до шести столетий. Поскольку мы едем на нашей машине времени в прошлое Тасмании, то ко времени Джеффри Чосера в Англии мы входим на территорию "все или ничего". Назад от этой даты ко времени, когда Тасмания была соединена с Австралией и ситуация была довольно непредсказуемой, все, с кем встретится наша машина времени, будут либо предками всего населения, либо не будут иметь потомков вообще.