Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями - [9]

Шрифт
Интервал

Большинство людей склонно скорее к первой игре, так как условия второй представляются им менее определенными. Автор обязан этой задачей Г. Райфа; последний сообщил ему, что идея задачи принадлежит Д. Элсбергу.

11. Обсуждение задачи о молчаливом союзе

Автор не встречал еще ни одного человека, который загадал бы многозначное число, при этом, как правило, называют числа 1, 3 и 7. В большинстве случаев была выбрана единица, но встречались также 3 и 7.

12. Обсуждение задачи «Куда идешь?»

Когда этот вопрос был задан моей дочери, она живо ответила: «Ну конечно же, им надо встретиться в самом известном месте Нью-Йорка». — «Прекрасно, но где же именно?» — спросил автор. «Откуда я знаю? Ведь мне всего девять лет».

Что же приходит в голову? Крыша здания Эмпайр Стейт Билдинг[7], аэропорты, бюро справок на железнодорожных станциях, статуя Свободы[8], Таймс Сквер[9]. Статую Свободы следует исключить сразу же по выяснении того, как трудно до нее добраться. Аэропорты не подходят по причине их многочисленности и удаленности от города. Тот факт, что в городе два крупных вокзала, по-видимому, исключит и их. Остаются Эмпайр Стейт Билдинг и Таймс Сквер. Я бы выбрал Эмпайр Стейт Билдинг, потому что Тайме Сквер сейчас разросся до неопределенных размеров.

Автору кажется, что если бы свидание было назначено в Сан-Франциско или в Париже, решить эту задачу было бы легче.

13. Решение дилеммы узника

Из всех задач, о которых пишут автору, настоящая доставила наибольшее количество писем.

Ошибка в рассуждении А состоит в том, что он не перечислил всех возможных событий должным образом. Выражаясь математически, узник неправильно построил пространство элементарных событий. Он считает, что опыт имеет три возможных исхода: освобождение пар AB, AC, BC с равными вероятностями. С точки зрения заключенного — это правильно построенное пространство элементарных событий для эксперимента, проводимого администрацией, которая освобождает двух узников из трех. Но эксперимент A включает еще один момент — ответ охранника. Возможные исходы для такого эксперимента и разумные вероятности для них будут:

1) A и B освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/3.

2) A и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/3.

3) B и C освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/6.

4) B и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/6.

Если на вопрос A охранник отвечает B, то апостериорная вероятность освобождения А равна вероятности исхода 1, деленной на сумму вероятностей исходов 1 и 3. Таким образом, вероятность освобождения A равна (1/3)/(1/3 + 1/6) = 2/3, так что математический расчет в конце концов отвечает здравому смыслу.

14. Решение задачи о выборе купонов

Из первой коробки мы достаем один купон. Далее, вероятность получить новый номер из второй коробки равна 4/5. Используя ответ задачи 4, видим, что приобретение нового номера потребует в среднем (4/5)>−1 = 5/4 коробок. Третий номер потребует (3/5)>−1 = 5/3, четвертый 5/2, пятый — 5 коробок.

Таким образом, среднее число коробок равно

Формула Эйлера для сумм гармонического ряда

Хотя в данном случае указанные дроби сложить, но когда в комплекте большое число купонов, удобно применить формулу Эйлера для частичных сумм гармонического ряда:

(Число C = 0.57721... называется постоянной Эйлера.) В случае комплекта из n купонов среднее число коробок приближенно равно

n·log n + 0.577n + ½.

Поскольку log 5 ≈ 1.6094, формула Эйлера при n = 5 дает 11.43, что весьма близко к 11.42. Членом 1/2n в формуле Эйлера часто пренебрегают.

15. Решение задачи о театре

Например, если ряд заполнен следующим образом

BBMMBBMBMBMBBMM

(здесь B обозначает юношу, а M — девушку), то имеется 9 пар BM и MB.

Нас интересует среднее число таких пар. Если первые два места в ряду заняты лицами разных полов, то у нас уже имеется искомая пара. Вероятность этого события равна

Более того, 8/15 есть и среднее число пар на первых двух местах, так как

 Такое же рассуждение применимо к каждой паре смежных мест.

Для определения среднего числа пар молодых людей эту величину надо умножить на число смежных мест, равное 14, что дает 112/15.

Более общим образом, если есть b объектов одного рода и m другого, располагаемых случайным образом в ряд, то среднее число пар, составленных из различных объектов, равно

В нашем примере b = 8, m = 7, и ответ равен 112/15.

Здесь мы существенным образом использовали тот факт, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Мы нашли среднее число пар BM или MB для каждых двух смежных мест и просуммировали по всем таким двойкам.

16. Рещение задачи о распределении призовых мест

Ответ равен 4/7. Второй по мастерству игрок может занять второе место лишь в том случае, когда он находится в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком.

Если в турнире участвуют 2>n игроков, то в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком, 2>n − 1 начальных ступеней, а всего имеется 2>n − 1 начальных ступеней (кроме занятой лучшим игроком). Таким образом, в турнире с 2>n игроками второй по мастерству может с вероятностью 2

Продолжить чтение
Рекомендуем почитать
В поисках бесконечности

За последнее столетие одно из центральных мост в математической науке заняла созданная немецким математиком Г. Кантором теория бесконечных множеств, понятия которой отражают наиболее общие свойства математических объектов. Однако в этой теории был вскрыт ряд парадоксов, вызвавших у многих видных ученых сомнения в справедливости ее основ. В данной книге излагается в популярной форме, какими путями шла человеческая мысль в попытках понять идею бесконечности как в физике, так и в математике, рассказывается об основных понятиях теории множеств, истории развития этой науки, вкладе в нее русских ученых. Книга предназначена для широких кругов читателей, желающих узнать, как менялось представление о бесконечности, чем занимается теория множеств и каково современное состояние этой теории.

Математика на ходу

Как приобщить ребенка к математике и даже сделать так, чтобы он ее полюбил? Замечательные британские популяризаторы науки Роб Истуэй и Майк Эскью нашли веселый и легкий путь к детскому сердцу, превратив страшное пугало – математику – в серию увлекательных игр для детей от 4 до 14 лет. Пусть ваш ребенок исподволь овладевает математической премудростью, играя изо дня в день в угадайку, числовые прятки, двадцаточку и зеленую волну. Вы сможете играть за столом, в очереди к врачу, в магазине, на прогулке, используя подручный счетный материал: машины на стоянке, товары на полках супермаркета, мотоциклистов на дороге… И конечно, ничто не мешает вам переиначивать придуманные авторами математические забавы на свой лад, приспосабливая их ко вкусам и потребностям собственных детей.

Значимые фигуры

Несмотря на загадочное происхождение отдельных своих элементов, математика не рождается в вакууме: ее создают люди. Некоторые из этих людей демонстрируют поразительную оригинальность и ясность ума. Именно им мы обязаны великими прорывными открытиями, именно их называем пионерами, первопроходцами, значимыми фигурами математики. Иэн Стюарт описывает открытия и раскрывает перед нами судьбы 25 величайших математиков в истории – от Архимеда до Уильяма Тёрстона. Каждый из этих потрясающих людей из разных уголков мира внес решающий вклад в развитие своей области математики.

Квантовый оптоэлектронный генератор

В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.

Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.

Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.