Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - [37]
Глава 7. Золотой Ключ и улучшенная Теорема о распределении простых чисел
Внимательный читатель уже, должно быть, заметил, что математические главы этой книги развиваются по двум основным колеям. Главы 1 и 5 были целиком посвящены различным бесконечным рядам, приводящим к математическим объектам, которые Риман назвал дзета-функцией. А в главе 3, посвященной простым числам, отталкиваясь от заглавия работы Римана 1859 года, мы рассмотрели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Эти два предмета — дзета-функция и простые числа, — очевидно, связны в силу того интереса, который к ним проявлял Риман. В самом деле, определенным образом связав одну концепцию с другой и повернув Золотой Ключ, Риман открыл целую область аналитической теории чисел. Но как он это сделал? Какова связь? Что именно представляет собой Золотой Ключ? В данной главе я намерен ответить на этот вопрос — предъявить вам Золотой Ключ. После этого мы начнем готовиться к повороту Золотого Ключа, рассмотрев улучшенный вариант ТРПЧ.
Начинается все с «решета Эратосфена». Золотой Ключ по существу представляет собой способ, которым Леонард Эйлер сумел выразить решето Эратосфена в терминах анализа.
Эратосфен из Кирены (в настоящее время — городок Шаххат в Ливии) был одним из библиотекарей великой александрийской библиотеки. Около 230 года до P.X. — примерно через 70 лет после Эвклида — он разработал свой знаменитый метод решета для нахождения простых чисел.
Работает этот метод следующим образом. Сначала выпишем все целые числа, начиная с 2. Разумеется, нельзя выписать их все, поэтому остановимся на сотне с небольшим.
> 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
> 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
> 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
> 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
> 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
> 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
> 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
> 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
> 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
> 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101
>102 103 104 105 106 107 108 109 110 111
Теперь, начиная с 2 и сохраняя при этом саму двойку в неприкосновенности, уберем каждое второе число после 2.
> 2 3 . 5 . 7 . 9 . 11
> . 13 . 15 . 17 . 19 . 21
> . 23 . 25 . 27 . 29 . 31
> . 33 . 35 . 37 . 39 . 41
> . 43 . 45 . 47 . 49 . 51
> . 53 . 55 . 57 . 59 . 61
> . 63 . 65 . 67 . 69 . 71
> . 73 . 75 . 77 . 79 . 81
> . 83 . 85 . 87 . 89 . 91
> . 93 . 95 . 97 . 99 . 101
> . 103 . 105 . 107 . 109 . 111
Первое выжившее число после двойки — это 3. Сохраняя теперь 3 в неприкосновенности, удалим каждое третье число после 3, если оно еще не удалено. Получим
> 2 3 . 5 . 7 . . . 11
> . 13 . . . 17 . 19 . .
> . 23 . 25 . . . 29 . 31
> . . . 35 . 37 . . . 41
> . 43 . . . 47 . 49 . .
> . 53 . 55 . . . 59 . 61
> . . . 65 . 67 . . . 71
> . 73 . . . 77 . 79 . .
> . 83 . 85 . . . 89 . 91
> . . . 95 . 97 . . . 101
> . 103 . . . 107 . 109 . 111
Первое выжившее число после тройки — это 5. Сохраняя теперь 5 в неприкосновенности, удалим каждое пятое число после 5, если оно еще не удалено. Получим
> 2 3 . 5 . 7 . . . 11
> . 13 . . . 17 . 19 . .
> . 23 . . . . . 29 . 31
> . . . . . 37 . . . 41
> . 43 . . . 47 . 49 . .
> . 53 . . . . . 59 . 61
> . . . . . 67 . . . 71
> . 73 . . . 77 . 79 . .
> . 83 . . . . . 89 . 91
> . . . . . 97 . . . 101
> . 103 . . . 107 . 109 . 111
Первое выжившее число — это 7. Следующий шаг состоит в том, чтобы, сохраняя теперь 7 в неприкосновенности, удалить каждое седьмое число после 7, если его еще не удалили до этого. Первое число, которое выживает после этого, — 11. И так далее.
Если проводить эту процедуру бесконечно, то оставшимися числами будут все простые числа. В этом и состоит «решето Эратосфена». Если остановиться прямо перед тем, как пришло время обрабатывать простое число p — другими словами, прямо перед тем, как надо будет удалять каждое p-е число, если оно еще не было удалено, — то мы получим все простые числа, меньшие p>2. Поскольку выше мы остановились прямо перед обработкой семерки, у нас имеются все простые до 7>2, т.е. 49. После этого числа остаются и не простые числа, такие как 77.
Решето Эратосфена — вещь достаточно простая. И ему уже 2230 лет. Как же оно перенесет нас в середину XIX века, к глубоким результатам в теории функций? А вот как.
Я собираюсь повторить только что проведенную процедуру. (Именно по этой причине мы разобрали ее столь тщательно.) Но на этот раз я применю ее к дзета-функции Римана, которую мы определили в конце главы 5. Дзета-функция от некоторого аргумента s, большего единицы, записывается как
Стоит заметить, что такая форма записи предполагает выписывание всех положительных целых чисел — в точности как в начале наших действий с решетом Эратосфена (с тем только исключением, что на сей раз включена 1).
