Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - [2]
Гипотеза Римана, как стали называть эту догадку, оставалась навязчивой идеей в течение всего XX столетия и остается таковой по сей день, отразив к настоящему моменту все без исключения попытки доказать ее или опровергнуть. Эта одержимость Гипотезой Римана стала сильна как никогда после того, как в последние годы были успешно решены другие великие проблемы, долгое время остававшиеся открытыми: Теорема о четырех красках (сформулирована в 1852 году, решена в 1976), Последняя теорема Ферма (сформулирована, по-видимому, в 1637 году, доказана в 1994), а также многие другие, менее известные за пределами мира профессиональных математиков. Гипотеза Римана сегодня — это гигантский Белый Кит математических исследований.
Гипотеза Римана поглощала внимание математиков в течение всего XX века. Вот что говорил Давид Гильберт, один из виднейших математических умов своего времени, обращаясь ко второму международному конгрессу математиков:
В теории распределения простых чисел в последнее время Адамаром, де ля Валле Пуссеном, фон Мангольдтом и другими сделаны существенные сдвиги. Но для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана <…>.
Далее Гильберт приводит формулировку Гипотезы Римана. А вот как сто лет спустя высказался Филип А. Гриффите, директор Института высших исследований в Принстоне, а ранее — профессор математики в Гарвардском университете. В своей статье, озаглавленной «Вызовы исследователям XXI века», в январском номере Journal of the American Mathematical Society за 2000 год он пишет:
Несмотря на колоссальные достижения XX века, десятки выдающихся проблем все еще ожидают своего решения. Наверное, большинство из нас согласится, что следующие три проблемы относятся к числу наиболее вызывающих и интересных.
Первой из них является Гипотеза Римана, которая дразнит математиков уже 150 лет <…>.
Интересным явлением в Соединенных Штатах в последние годы XX века стало появление частных математических исследовательских институтов, финансируемых богатыми любителями математики. И Математический институт Клея (основанный в 1998 году бостонским финансистом Лэндоном Т. Клеем), и Американский математический институт (основан в 1994 году калифорнийским предпринимателем Джоном Фраем) ориентировали свои исследования на Гипотезу Римана. Институт Клея установил премию в миллион долларов за ее доказательство или опровержение. Американский математический институт обращался к Гипотезе на трех полномасштабных конференциях (в 1996, 1998 и 2000 годах), собравших исследователей со всего мира. Помогут ли эти новые подходы и инициативы в конце концов победить Гипотезу Римана, пока не ясно.
В отличие от Теоремы о четырех красках или Последней теоремы Ферма Гипотезу Римана нелегко сформулировать так, чтобы сделать ее понятной для нематематика, потому что она составляет самую суть одной трудной для понимания математической теории. Вот как она звучит:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.
Для обычного читателя, даже хорошо образованного, но без продвинутой математической подготовки, это, вероятно, полная бессмыслица. С равным успехом можно было бы сформулировать Гипотезу на церковнославянском. В данной книге параллельно с описанием истории Гипотезы и ряда людей, имевших к ней отношение, я попытался довести этот глубокий и таинственный вывод до уровня, доступного широкому читателю, сообщая при этом ровно столько математических сведений, сколько необходимо для понимания Гипотезы.
План книги очень простой. Главы с нечетными номерами (сначала они планировались как главы с простыми номерами, но я подумал, что не стоит казаться слишком умным) содержат математические объяснения, подводя читателя — надеюсь, плавно — к пониманию Гипотезы Римана и к осознанию ее важности. В главах с четными номерами раскрываются исторические и биографические подробности.
Изначально я собирался сделать эти две нити повествования независимыми, так чтобы читатели, недолюбливающие формулы, могли наслаждаться только четными главами, а читатели, которых не слишком интересуют история и байки про математиков, могли спокойно читать нечетные. Реализовать этот план мне удалось не в полной мере, и я теперь сомневаюсь, что со столь запутанным предметом это вообще возможно. Тем не менее в своей основе планировавшееся разбиение сохранилось. Математики намного больше в нечетных главах и намного меньше в четных, и читатель волен, разумеется, попытаться следовать при чтении той или иной линии. Правда, я все же надеюсь, что вы прочтете книгу целиком.
Книга предназначена для понятливого и любознательного читателя-нематематика. Такое утверждение, конечно, вызывает целый ряд вопросов. Что имеется в виду под «нематематиком»? Какой уровень математических знаний предполагается у читателя? Ну, начнем с того, что каждый хоть что-то знает из математики. Наиболее образованные люди могут, вероятно, иметь смутное представление о том, что такое математический анализ. Я
Астрономия, физика, математика, химия, биология и медицина — 100 открытий, которые стали научными прорывами и изменили нашу жизнь. Патенты и изобретения — по-настоящему эпохальные научные перевороты. Величайшие медицинские открытия — пенициллин и инсулин, группы крови и резусфактор, ДНК и РНК. Фотосинтез, периодический закон химических элементов и другие биологические процессы. Открытия в физике — атмосферное давление, инфракрасное излучение и ультрафиолет. Астрономические знания о магнитном поле земли и законе всемирного тяготения, теории Большого взрыва и озоновых дырах.
Классическая книга основателя теории фракталов, известного американского математика Б. Мандельброта, которая выдержала за рубежом несколько изданий и была переведена на многие языки. Перевод на русский язык выходит с большим опозданием (первое английское издание вышло в 1977 г.). За прошедший период книга совсем не устарела и остается лучшим и основным введением в теорию фракталов и фрактальную геометрию. Написанная в живой и яркой манере, она содержит множество иллюстраций (в том числе и цветных), а также примеров из различных областей науки. Для студентов и аспирантов, физиков и математиков, инженеров и специалистов.
Знание математики приобретает особое значение в нашу цифровую эпоху. Рассказывая о прошлом, настоящем и будущем математической мысли и о первооткрывателях важнейших математических законов, известный австрийский ученый и популяризатор науки Рудольф Ташнер посвящает нас не только в тайны цифр и чисел, но и шире — в тайны познания. «Из великого множества историй о якобы безмерной власти чисел я отдал предпочтение тем, в которых проводится идея о том, что числа не просто оказались у людей под рукой.
Если вы хотите поразить одноклассников молниеносным решением квадратных уравнений [КУ], давайте развлечемся.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств.