Программирование игр и головоломок - [51]

.

Операция Р(р, н, к) на самом деле следующая: снять диск с вершины стержня н и поместить его на вершину стержня к.

Если представить игру в виде 3 строк с помощью последовательностей чисел, то, таким образом, достаточно снять крайнее правое число со строки н и присоединить его справа к строке к.

Если вы хотите представить стержни вертикально, создайте, кроме того, внутреннее представление с помощью трех цепочек символов и составьте процедуру вывода на экран. Это, как кажется, проще всего. Если вы не любите цепочек символов, используйте три таблицы, но вы не выиграете в легкости.

Игра 33.

Если ваш компьютер допускает рекурсию, заставьте работать рекурсивную процедуру и понаблюдайте за движением дисков. В противном случае выполните вручную рекурсивную процедуру для маленького n (например 4), что поможет вам наглядно увидеть то, что уже доказано: два диска одинаковой четности не могут оказаться друг на друге.

Вы должны заметить, что

— диск с номером 1 перемещается один раз за любые два хода,

— он перемещается циклически, причем всегда в одном направлении, а именно

либо 0 — 1 1 — 2 2 — 0…

либо 0 — 2 2 — 1 1 — 0…

Следующий ход, перемещающий диск с номером 1, полностью определен. Недостаточно проверить это, это нужно доказать. После этого итеративное решение тривиально. Можете ли вы априори определить перемещение диска с номером 1 в зависимости от четности числа дисков?

Можете ли вы сказать что-нибудь о движении остальных дисков?

Пронумеруйте ходы. Диск с номером 1 перемещается в ходах с нечетными номерами. Проверьте, а затем докажите, что диск с номером 2 перемещается в ходах с номерами 2, 6, 10, …, т. е. в ходах, номер которых кратен двум, но не кратен четырем. Обобщите. Исходя отсюда, вы можете сказать, зная номер хода, какой диск будет перемещаться, с какого стержня он уйдет и куда придет.

Красиво, не правда ли?

Игра 34.

Существование четвертого стержня не упрощает стратегию, даже наоборот. Одна из возможностей состоит в том, чтобы перемещать р верхних дисков, используя 4 стержня, затем оставшиеся диски — используя только 3 стержня (поскольку четвертый стержень блокирован башней самых маленьких дисков). Наконец, вы восстанавливаете р маленьких дисков над остальными, используя 4 стержня. Обозначим через

f4(р) — число ходов для перемещения р дисков, используя 4 стержня;

f3(р) — число ходов для перемещения р дисков, используя 3 стержня (известное число, см. игру 31).

Тогда наша стратегия дает

f4(n) = f4(р) + f3(n−p) + f4(р).

Нужно выбрать значение р, которое минимизирует эту сумму.

Первые несколько значений для /4 получить легко:

f4(1) = 1, f4(2) = 3, f4(3) = 5.

В этих случаях на самом деле есть только один способ действовать. Вычислите сначала на руках следующие значения. Воспользуйтесь вашим компьютером, чтобы составить таблицу, дающую последовательные значения для f4(n), вместе с оптимальным значением р для каждого n (оно не всегда однозначно определено. Вы по своему произволу можете выбирать из них наименьшее).

Игра 35.

Итеративная программа для игры с 4 стержнями есть обобщение итеративной программы для игры с 3 стержнями. Это видно по рекурсивной форме. Она не идеально проста…

Это замечание позволит вам перейти к любому числу стержней.

Игра 36.

Нужно снова взять все, что было нами оставлено в игре 23. Предположите, что для некоторого р существует такое значение q, что

SG(p, q) = 0.

Покажите, что в этом случае SG(р, q') = 0 для всех q' < q. Следовательно, если р таково, что SG(р, 1) = 0, то должно существовать некоторое g такое, что SG(р, g) = 0, но SG(р, g + 1) ≠ 0; g — наибольшее из значений q, дающих равенство SG(р, q) = 0.

Нужно построить последовательность p_i, g_i.

Вы можете показать, что если g_i = 1, то p_i+1 = p_i + 2, в то время как если g_i > 1, то p_i+1 = p_i + 3.

Хороший способ действия состоит в том, чтобы опереться на геометрические рассмотрения. Числа Спрага-Грюнди интересуют нас только с одной стороны— равны они нулю или нет (у нас нет намерения играть несколько игр одновременно, что избавляет нас от вычисления Ним-сумм и, следовательно, от заботы о значениях ненулевых чисел Спрага-Грюнди). Число Спрага-Грюнди равно нулю тогда и только тогда, когда невозможен никакой переход к нулевому числу. Но положение р, q допускает переходы к p − k, для k ≤ 2q. Следовательно, мы получим SG(p, q) = 0 тогда и только тогда, когда

SG(p − k, k) ≠ 0 для всех k от 1 до 2q.

Нарисуйте на плоскости две перпендикулярные оси, p как абсциссу и q как ординату. Обозначьте точки с нулевыми значениями SG.

Рассмотрите те прямые, которые проходят через точки p c SG(p, 1) = 0. Нужно изучить прямые p − k, k, где меняется от 1, т. е. те, которые параллельны биссектрисе второго и четвертого координатного угла и проходят через точку p − 1, 1.

Мы представили отрезок такой прямой для p = 28 (см. рис. 38). Он пересекает точку с нулевым значением на вертикали 21 = 28 − 7. Значит, нужно ограничить число k шестью, задавая g = 3 при p = 28.

Для p = 34 диагональ, проходящая через 33, 1 проходит над всеми отрезками с 0 для p ≠ 0 и пройдет поэтому, пересекая ось q при q = 34. Поэтому нужно ограничить число