Программирование игр и головоломок - [48]

SG(1, q) = 1.

Если у вас осталось две спички, то всегда можно одну взять и одну оставить, следовательно, SG(2, q) ≠ 1, или можно взять две и закончить игру:

SG(2, q) = 2.

Начиная с трех, выбор меняется.

Для 3, 1 ваш противник может взять 1 и оставить пару 2, 1, следовательно, SG(3, 1) ≠ 2, либо взять 2 и оставить пару 1, 2, так что SG(3, 1) ≠ 1. Но большее количество изымать нельзя. Наименьшее неотрицательное целое, отличное от 1 и 2, есть 0:

SG(3, 1) = 0.

Если вы оставляете 3, взяв больше, чем одну спичку, то противник может взять и 3, достигая 0 с SG (0, 3) = 0, и, следовательно,

SG(3, q > 1) = 3.

Все, что от вас здесь требуется — продолжить это изучение достаточно далеко, чтобы дать компьютеру список выигрывающих положений, — и тогда ваша программа будет непобедимой.

Игра 24.

Я много раз излагал нижеследующее различным программистам и каждый раз оставался в недоумении, видя, что они не считают это «очевидным».

Вы играете в «Гениального отгадчика», вы ищете неизвестную комбинацию; чтобы сделать это, вы предлагаете комбинации c₁, c₂, …, c_k. Для каждой из них вы получаете ответ о числе белых и черных шашек:

б₁, ч₁; б₂, ч₂; …; 6_k, ч_k.

Следующая предлагаемая комбинация должна быть такой, которая при сравнении с c₁ дает ч₁ черных и б₁ белых шашек; …; при сравнении с c_k она должна давать ч_k черных и б_k белых шашек. Почему? Вы ищете неизвестную комбинацию. Но эта комбинация дает при сравнении с комбинацией c_i именно ч_i черных и б_i белых шашек. Бесполезно искать решение вне множества комбинаций, обладающих этим свойством: там его не может быть[23].

Следовательно, у вас есть простая стратегия. Допустите, что вы уже каким-то образом выбрали x первых комбинаций, где x фиксировано. Компьютер располагает значениями ч_i, б_i для i от 1 до x. Вы предоставляете ему возможность перепробовать все комбинации и запоминать только те, которые дают при сравнении с уже испытанными комбинациями правильные значения черных и белых шашек.

Так как возможных комбинаций много, то нужно попытаться не перебирать их все заново при каждой следующей попытке. Вы можете, например, начать с первой позиции новой комбинации. Вы присваиваете ей первый цвет, а затем смотрите, сколько черных шашек он образует с уже испытанными комбинациями. Если он дает черную шашку с комбинацией, с которой ее не следует давать, то этот цвет нужно отбросить. Когда вы уже нашли подходящий цвет для этой позиции, переходите к следующей. Она может дать вам слишком много черных шашек, и это событие очень даже вероятно. Мало таких комбинаций, которые черных шашек не дают совсем, и больше таких, которые дают не более одной. То, что было зафиксировано для первого цвета, не может быть использовано для второго, Но заметьте, что у вас есть и другой случай для отбрасывания: если нужно получить три черных шашки при сравнении с некоторой комбинацией и если первая позиция никакого вклада не вносит, то необходимо, чтобы вторая позиция вносила свой вклад (предполагая, что есть 4 позиции). Действуя таким образом, вы достигаете в конце концов комбинации с правильным числом черных шашек. Тогда нужно проверить белые. Если они принимают нужные значения для всех предложенных комбинаций, то у вас готово новое предложение, и вы получите либо успех, либо новые элементы для сравнения.

Если испытание комбинации потерпело неудачу, то вы переходите к следующей, начиная, если это возможно, с последнего, отступая на одну позицию и испытывая следующий цвет на этой самой позиции.

Для экономии вычислений вы можете быть заинтересованы в том, чтобы сохранить некоторые результаты, полученные во время исследования одной позиции за другой. Но внимание! Когда вы возвращаетесь назад, нужно знать, как определить, что нужно сохранить, а что исключить. Используйте при необходимости изучение «гениального ответчика» (игра 6), чтобы выбрать наилучший способ определения белых и черных шашек.

Игра 25.

Как и при игре Сима, невозможно действовать из комбинаторных соображений, т. е. изучать при каждом ходе компьютера все окончания всех возможных партий. Поэтому нужно взвешивать различные ситуации и делать наилучший ход.

Я предоставляю вам выбор весов…

Игра 26.

Все то же самое. У вас 7 игровых положений. Поэтому ваша программа должна пробежаться по 7 столбцам и для каждого из них вычислить вес игрового положения. Ход определяется положением с наибольшим весом. Если есть два положения с одинаковым весом, предпочтительнее более высокое.

Чтобы определить веса игрового положения, нужно видеть, принадлежит ли оно отрезку из четырех игровых положений, уже содержащему 3 ваших шашки (тогда именно так и нужно играть: максимальный вес) или 3 шашки противника (максимальный вес минус 1). Если игровое положение находится на пересечении двух отрезков, содержащих по две шашки противника и ничего больше, то оно представляет очень большой интерес для хода. Продолжите этот анализ, и ваша программа будет носить ваш отличительный знак.

Совершенно ясно, что для каждого игрового положения нужно знать состояние всех проходящих через него отрезков. В этой игре есть 50 различных отрезков с 4 положениями. Выбор ясен: