Принцесса или тигр? - [63]
3. Трижды гёделева проблема. Построить такие утверждения X, Y и Z, чтобы X говорило о том, что Y допускает распечатку, Y говорило бы о том, что не допускает распечатки, a Z — о том, что X в свою очередь вновь допускает распечатку, и показать, что по крайней мере одно из этих утверждений (правда, нельзя сказать, какое именно) должно быть истинным, но не допускающим распечатки на машине.
Добавим к четырем нашим символам еще один — символ R. Таким образом, теперь у нас пять символов: P, R, N, А, ‒. Пусть нам даны две машины, М>1 и М>2, каждая из которых может печатать различные выражения, составленные из этих пяти символов. При этом под символом P в данном случае мы будем подразумевать «допускающий распечатку первой машиной», а под символом R — «допускающий распечатку второй машиной». Таким образом, запись P‒X означает, что выражение X допускает распечатку первой машиной, а запись R‒X — что выражение X допускает распечатку второй машиной. Запись РА‒X означает, что ассоциат выражения X допускает распечатку первой машиной, а запись RA‒X показывает, что ассоциат выражения X допускает распечатку второй машиной. Наконец, «фразы» NP‒X, NR‒X, NPA‒X, NRA‒X говорят соответственно о следующем: выражение X не допускает распечатки первой машиной; выражение X не допускает распечатки второй машиной; выражение X‒X не допускает распечатки первой машиной; выражение X‒X не допускает распечатки второй машиной. Под утверждением мы будем теперь понимать любое выражение одного из следующих восьми типов: P‒X, R‒X, NP‒X, NR‒X, РА‒X, RA‒X, NPA‒X, NRA‒X. Кроме того, пусть нам известно, что первая машина печатает только истинные утверждения, а вторая — только ложные. Условимся называть некоторое утверждение доказуемым в том и только том случае, если оно допускает распечатку первой машиной, и ложным — в том и только том случае, если оно: может быть напечатано второй машиной. Таким образом, символ P означает «доказуемый» (от англ. provable), а символ R — «опровержимый» (от англ. refutable).
4. Найдите утверждение, которое было бы ложным, но неопровержимым.
5. Имеются такие два утверждения X и Y, что одно из них (правда, нам не известно, какое именно) должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (мы не знаем, каким именно). Такие пары можно строить двумя способами, и соответственно я предлагаю вашему вниманию две задачи:
а. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы X утверждало доказуемость Y, a Y утверждало опровержимость X. Далее, покажите, что одно из них (мы не можем сказать, какое именно) либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо.
б. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы X утверждало недоказуемость Y, а Y утверждало неопровержимость X. Далее покажите, что одно из этих высказываний, X или Y (мы не можем сказать, какое именно), либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо.
6. А теперь рассмотрим задачу с четырьмя неизвестными! Пусть нам требуется найти такие высказывания X, Y, Z и W, чтобы X утверждало доказуемость Y, Y утверждало опровержимость Z, Z утверждало опровержимость W, a W утверждало бы неопровержимость X. Покажите, что одно из этих четырех высказываний должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (хотя, какое из этих четырех будет именно таким высказыванием, сказать невозможно).
Возможно, читатель уже отметил определенное сходство приведенных выше задач с некоторыми свойствами первой машины Мак-Каллоха. В самом деле, работа этой машины оказывается связанной с теоремой Гёделя, и вот каким образом.
7. Пусть у нас имеется некоторая математическая система, приводящая к набору утверждений, одни из которых называются истинными, а другие — доказуемыми. Мы предполагаем также, что эта система правильная, то есть каждое доказуемое в ней утверждение является истинным. Далее, пусть каждому числу N ставится в соответствие некоторое утверждение, которое мы будем называть утверждением N. Предположим наконец, что наша система удовлетворяет следующим двум условиям.
Условие Мс>1. Для любых чисел X и Y, если число X порождает число Y в первой машине Мак-Каллоха, утверждение 8X истинно тогда и только тогда, если утверждение Y доказуемо. (Напомним, что число 8X это не 8, умноженное на X, а цифра 8, за которой стоит число X.)
Условие Мс>2. Для любого числа X утверждение 9X истинно тогда и только тогда, если утверждение X не является истинным.
Найдите такое число N, при котором утверждение N истинно, но недоказуемо в данной системе.
8. Предположим, что в условии Mс>1 говорится не о «первой машине Мак-Каллоха», а о «третьей машине Мак-Каллоха». Попробуем теперь найти такое утверждение, которое было бы истинным, но недоказуемым.
9. Парадокс ли это? Вернемся вновь к задаче 1, однако внесем в нее некоторые изменения. Вместо символа P мы будем использовать символ В (в силу определенных психологических причин — каких именно, станет ясно из дальнейшего). Определение «утверждения» остается тем же, что и раньше, только на этот раз символ
Рэймонд Смаллиан счастливо сочетает в одном лице философа, логика, математика, музыканта, фокусника, юмориста, писателя и составителя великолепных задач-головоломок. Искусный писатель и великолепный юморист, Смаллиан любит облекать свои задачи в литературную форму, нередко пародирующую какие-нибудь известные произведения. Делает он это настолько хорошо, что его книги, изобилующие всякого рода парадоксами, курьезами и задачами, с удовольствием читают и те, кто даже не пытается решать задачи.В книге, которую вы держите сейчас в руках, кэрролловская Алиса из Страны Чудес и ее друзья раскрывают перед читателем нескончаемую вереницу задач-головоломок.
Книга американского профессора Р. Смаллиана, написанная в увлекательной форме, продолжает серию книг по занимательной математике и представляет собой популярное введение в некоторые проблемы математической логики. Сюда входят более 200 новых головоломок, созданных необычайно изобретательным автором. Задачи перемежаются математическими шутками, анекдотами из повседневной жизни и неожиданными парадоксами. Завершает книгу замечательная серия беллетризованных задач, которые вводят читателя в самую суть теоремы Курта Гёделя о неполноте, — одного из замечательнейших результатов математической логики 20 века. Можно сказать — вероятно, самый увлекательный сборник задач по логике.
Логические головоломки, парадоксы и курьезы, вошедшие в этот сборник, построены на материале знаменитой «Алисы в Стране Чудес» Л. Кэрролла. Известный американский математик и логик P.M. Смаллиан приглашает читателей последовать за Алисой в Страну Головоломок и вместе с ней решить множество увлекательных задач.
Излагаются практически важные разделы аппарата современной математики, которые используются в инженерном деле: множества, матрицы, графы, логика, вероятности. Теоретический материал иллюстрируется примерами из различных отраслей техники. Предназначена для инженерно-технических работников и может быть полезна студентам ВУЗов соответствующих специальностей.
Возможно, вам казалось, что вы далеки от математики, а все, что вы вынесли из школы – это «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Если вы всегда думали, что математика вам не понадобится, то пора в этом разубедится. В книге «Математика «для гиков» Рафаэля Розена вы не только узнаете много нового, но и на практике разберете, что математикой полон каждый наш день – круглые крышки люков круглы не просто так, капуста Романеско, которая так привлекает наш взгляд, даже ваши шнурки, у которых много общего с вашей ДНК или даже ваша зависть в социальных сетях имеет под собой математические корни.После прочтения вы сможете использовать в разговоре такие термины как классификация Дьюи, Числа Фибоначчи, равновесие Нэша, парадокс Монти Холла, теория хаоса, подготовитесь к тексту Тьюринга, узнаете, как фильм получает Оскар, и что это за эффект бразильского ореха.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
Тим Глинн-Джонс — автор этой необычной книги — знает о цифрах все. Вы убедитесь в этом, прочитав его занимательные истории «от нуля до бесконечности». С их помощью вы перестанете опасаться числа 13, разберетесь, какую страшную тайну хранит в себе число 666, узнаете, чем отличается американский миллиард от европейского и почему такие понятия как Время, Вселенная и Смерть, можно определить только через бесконечность.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.