Принцесса или тигр? - [29]
10. Предположим, что Орк принадлежит к дневному типу и в тот момент бодрствовал. Следует ли из этого предположения, что Орк должен быть колдуном? Да, следует, и вот почему. Допустим, что Орк действительно относится к дневному типу и в то время бодрствовал. Тогда его суждения правильны, откуда следует, что в случае, если он относится к дневному типу и бодрствует, то он и есть колдун. Но он принадлежит к дневному типу и бодрствует (лишь по предположению), следовательно, он должен быть колдуном (опять-таки, конечно, при условии, что он относится к дневному типу и бодрствует). Таким образом, предположение о том, что Орк относится к дневному типу и бодрствует, приводит нас к выводу, что он — колдун. Это, разумеется, вовсе не указывает ни того, что исходное предположение правильно, ни того, что он колдун, — мы доказали только то, что если бы он относился к дневному типу и бодрствовал, то в этом случае он должен был быть колдуном. Итак, мы установили гипотетическое утверждение, что если бы Орк принадлежал к дневному типу и бодрствовал, то в таком случае он — колдун. Но именно в это гипотетическое утверждение Орк в тот момент и верил; следовательно, мнение Орка было верным! Это означает, что Орк в то время либо относился к дневному типу и бодрствовал, либо принадлежал к ночному типу и спал, однако (пока) мы не можем точно сказать, какой из этих двух вариантов имел место на самом деле. Поэтому наше допущение о том, что Орк является колдуном, совсем не обязательно должно быть истиной, поскольку вполне может оказаться, что он принадлежит к ночному типу и в тот момент спал.
Далее, рассуждая подобным же образом, мы полагаем, что суждение Борка тоже верно. В самом деле, если Борк принадлежит к дневному типу и бодрствует или относится к ночному типу и спит — то в любом из этих случаев его суждение является правильным, откуда следует, что он непременно должен быть колдуном. Но это то, во что верит Борк, и, следовательно, его суждение верно. Теперь, поскольку суждение Борка верно, он либо относится к дневному типу и в тот момент бодрствовал, либо принадлежит к ночному типу и в тот момент спал. Однако же и в том, и в другом случае он должен быть колдуном.
Поскольку Борк — колдун, то, значит, Орк в свою очередь колдуном не является. Стало быть, Орк не мог в тот момент бодрствовать и не мог принадлежать к дневному типу, поскольку мы установили, что если бы это оказалось именно так, то колдуном обязательно должен был быть он. Таким образом, Орк в тот момент находился во сне и, кроме того, он принадлежит к ночному типу. Следовательно, Борк в тот момент тоже находился во сне, а поскольку суждение Борка оказалось правильным, то, значит, Борк должен относиться к ночному типу. Итак, колдун относится к ночному типу.
11. Из того, что островитянин считал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует, мы можем сделать лишь один вывод — что он не относился к ночному типу и не спал. При этом у нас имеются три возможности.
(1) Он принадлежал к ночному типу и бодрствовал (причем его суждения были ошибочными).
(2) Он принадлежал к дневному типу и спал (и его суждения были ошибочными).
(3) Он принадлежал к дневному типу и бодрствовал (и его суждения были правильными).
Предположим теперь, что я сообщил моему приятелю, к какому типу относится островитянин. Мог бы в таком случае мой приятель решить задачу? Так вот, это в огромной степени зависело бы от того, что именно я ему сказал. Если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, тогда он сразу понял бы, что вариант (1) является при этом единственно возможным, и поэтому тотчас же сообразил бы, что островитянин бодрствовал. С другой стороны, если бы я сказал ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то это сразу исключило бы вариант (1), но сохранило бы варианты (2) и (3), причем мой приятель никак не смог бы выяснить, какая же из этих двух возможностей имеет место в действительности. Таким образом, в последнем случае он не сумел бы решить задачу.
Вместе с тем мой друг вовсе не требовал от меня ответа на вопрос, к какому типу относится островитянин; он лишь спросил меня, смог бы он решить задачу, если бы я сообщил ему, к какому типу принадлежит данный житель острова. На самом деле, если бы островитянин принадлежал к дневному типу, то на вопрос приятеля я должен был бы ответить «нет» (потому что, как показано выше, если бы я сообщил ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то он вообще не смог бы решить задачу). В то же время если бы житель острова относился к ночному типу, то на вопрос приятеля я ответил бы «да» (потому что, как мы только что показали, если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, то мой приятель вполне мог бы решить задачу). Таким образом, поскольку мой друг знал, что островитянин относится к ночному типу и бодрствует, то, стало быть, я ответил ему «да».
12. Из того, что жительница острова полагала, будто она принадлежит к ночному типу и спит, мы можем сделать один-единственный вывод — что она не принадлежала к дневному типу и не бодрствовала. При этом у нас остаются три возможности:
Книга американского профессора Р. Смаллиана, написанная в увлекательной форме, продолжает серию книг по занимательной математике и представляет собой популярное введение в некоторые проблемы математической логики. Сюда входят более 200 новых головоломок, созданных необычайно изобретательным автором. Задачи перемежаются математическими шутками, анекдотами из повседневной жизни и неожиданными парадоксами. Завершает книгу замечательная серия беллетризованных задач, которые вводят читателя в самую суть теоремы Курта Гёделя о неполноте, — одного из замечательнейших результатов математической логики 20 века. Можно сказать — вероятно, самый увлекательный сборник задач по логике.
Рэймонд Смаллиан счастливо сочетает в одном лице философа, логика, математика, музыканта, фокусника, юмориста, писателя и составителя великолепных задач-головоломок. Искусный писатель и великолепный юморист, Смаллиан любит облекать свои задачи в литературную форму, нередко пародирующую какие-нибудь известные произведения. Делает он это настолько хорошо, что его книги, изобилующие всякого рода парадоксами, курьезами и задачами, с удовольствием читают и те, кто даже не пытается решать задачи.В книге, которую вы держите сейчас в руках, кэрролловская Алиса из Страны Чудес и ее друзья раскрывают перед читателем нескончаемую вереницу задач-головоломок.
Логические головоломки, парадоксы и курьезы, вошедшие в этот сборник, построены на материале знаменитой «Алисы в Стране Чудес» Л. Кэрролла. Известный американский математик и логик P.M. Смаллиан приглашает читателей последовать за Алисой в Страну Головоломок и вместе с ней решить множество увлекательных задач.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.