Песни о Паскале - [70]
или так:
W + W + W = W
Не правда ли, странная арифметика?
Объединение множеств
Продолжим наши мысленные опыты и перекрасим оба круга в серый цвет. Будем считать их теперь одной фигурой, разорванной на части.
Так мы получили новое множество, представляющее сумму или объединение двух предыдущих. Обозначим это новое множество буквой G (от Gray – «серый») и выразим то, что сделали, формулой.
G = B + W
Очевидно, что число точек во вновь образованном множестве равно их сумме в двух исходных. Пока в этом нет ничего интересного, – ведь исходные множества B и W, как говорят математики, не пересекаются. Сблизим круги так, чтобы добиться их частичного перекрытия (рис. 82).
Теперь количество точек в объединенном множестве будет меньше, чем в двух исходных по отдельности.
G < B + W
В общем случае при объединении множеств (как пересекающихся, так и не пересекающихся) соблюдается правило.
G ≤ B + W
Пересечение множеств
Иногда математиков (и не только их) интересует область пересечения множеств, отметим её серым цветом (рис. 83).
Операцию пересечения множеств обозначают знаком умножения.
G = B • W
Количество точек в пересечении, как понимаете, не может быть больше, чем в любом из исходных множеств B и W. Для этого случая справедливо утверждение: пересечение множеств не больше любого из них.
B • W ≤ B и B • W ≤ W
Вычитание множеств
О солнечных и лунных затмениях слышали все, а кто-то и наблюдал их. Для математика это зримые примеры вычитания множеств; взгляните на рис. 84 – чем не затмения? Серую область можно трактовать как результат вычитания одного круга из другого. На левом рисунке белый круг «отгрыз» часть черного, превратив его в серую область, а на правом – наоборот. Подобающие этим случаям формулы будут таковы.
G = B – W или G = W – B
А если вычитаемый круг окажется больше того, из которого вычитают, и полностью поглотит его? В алгебре разность получится отрицательной, а здесь? Ничего подобного! При вычитании большего множества из меньшего или равного ему получается пустое множество, оно обозначается символом Ø. Из пустого множества тоже можно вычитать, и результатом опять будет пустое множество.
(B – B) – B = Ø
(Ø – W) – B = Ø
Вот такими интересными свойствами обладают множества!
Подмножества и надмножества
На рис. 85 белый круг полностью поглощен черным. Тогда говорят, что множество точек белого круга составляет подмножество точек черного. Или так: множество точек черного круга является надмножеством точек белого. Математик выразит это формулой:
B > W
А если круги совпадают и полностью перекрывают друг друга? Тогда говорят, что множества равны, и любое из них является и подмножеством, и надмножеством другого. В общем случае:
если B ≥ W, то B является надмножеством W;
если B ≤ W, то B является подмножеством W.
Мы рассмотрели несметные множества бесконечно маленьких точек. Но компьютеры ещё не умеют работать с бесконечностями. Так умерим свой аппетит и перейдем к множествам с конечным числом элементов. Поступим так: вместо раскраски кругов расставим на них ряд жирных точек и пронумеруем их числами от 1 до 9 (рис. 86). В ходе последующих опытов нас будут интересовать лишь эти избранные точки (то есть, числа).
Так мы получили два конечных множества чисел. Одно из них, обозначенное буквой A, содержит числа 8, 7, 9, 3, 5, 2. Другое обозначено буквой B и включает числа 5, 4, 6, 1, 2. Эти множества математики записали бы так:
A = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 }
B = { 5, 4, 6, 1, 2 }
Для записи множеств они используют фигурные скобки. Обратите внимание: числа в скобках следуют в произвольном порядке. Это значит, что порядок перечисления элементов множества не важен. Учтите также, что числа 2 и 5 входят в оба множества.
Подобно точкам на круге, каждый элемент числового множества уникален, иными словами, может входить в множество лишь единожды. Вспомните нашу попытку покрасить углем черный круг, – добавление к множеству существующих в нём элементов не изменяет его. Этим же свойством обладают и числовые множества. Например, для нашего случая справедливо следующее.
A + { 8, 7 } = A
Множество A после объединения с множеством {8,7} не изменилось, поскольку уже содержало эти числа.
С числовыми множествами поступают так же, как и с бесконечными: объединяют, пересекают, вычитают и сравнивают. Вот примеры этих операций для нашего случая.
Объединение множеств содержит все числа исходных множеств, при этом повторения (дубликаты) отбрасывают:
G = A + B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } + { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 8, 7, 9, 3, 5, 2, 4, 6, 1 }
Хотя числа 2 и 5 входили в оба исходных множества, в объединении они встречаются по разу.
Пересечение множеств содержит только числа, входящие в оба множества:
A * B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } * { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 5, 2 }
Разность множеств A–B содержит числа, состоящие в множестве A, но отсутствующие в множестве B:
