Параллельные миры - [39]

Дискретность в наиболее простой форме означает, что пространство строится из некоторых одинаковых неделимых конечных элементов. Казалось бы, все просто: приставляя элементы один к другому, мы получаем прямую, плоскость, трехмерное пространство и так далее, в зависимости от нашего желания или необходимости. Однако при размышлениях на эту тему возникают психологические противоречия.

Выдающийся немецкий математик Г. Вейль так сказал о гипотезе дискретности: «Как следует понимать согласно этой идее существующие в пространстве отношения мер длин? Если сложить из камешков квадрат, то на диагонали будет лежать столько же камешков, сколько их имеется в направлении стороны. Таким образом, диагональ должна иметь ту же длину, что и сторона». Вейль наивно применяет непрерывную меру к дискретному пространству, чего делать нельзя. Дискретное расстояние нужно мерить дискретной мерой, т. е. числом камешков. С этой точки зрения диагональ действительно имеет ту же длину, что и сторона.

Впервые упоминание о дискретном представлении непрерывного множества встречается у средневековых арабских философов, с точки зрения которых для образования квадрата (или границы квадрата, т. е. окружности) требуются четыре точки. Много размышлял над идеей дискретного пространства Альберт Эйнштейн. В одной из своих статей он писал: «Я придерживаюсь представлений о континууме не потому, что исхожу из некоторого предрассудка, а потому, что не могу придумать ничего такого, что могло бы органически заменить эти представления. Каким образом следует сохранить наиболее существенные черты четырехмерности, если отказаться от этого представления?»

Решение проблемы создания дискретного пространства, как это часто бывает, пришло с неожиданной стороны. И это решение — наглядный пример того, как потребности практики влияют на науку. Сравнительно недавно были разработаны математические основы многомерной компьютерной графики, называемой также дигитальной топологией. Дигитальные, т. е. выстроенные из одинаковых неделимых единых элементов, образы различных объектов появляются в силу особенностей компьютера, где такими элементами являются, прежде всего, ячейки памяти. Кроме того, в любом компьютере образ объекта состоит всегда из конечного числа элементов, ограниченного объемом памяти машины. В многомерной компьютерной графике имеется несколько альтернативных подходов. Один из подходов называется теорией молекулярных пространств — ТМП. В рамках ТМП строятся дискретные многомерные евклидовы и кривые пространства, изучаются их деформации, сохраняющие и меняющие пространственные инварианты.

Применение молекулярной модели к физическому пространству означает следующее:

1. Физическое пространство состоит из неделимых элементов, которые условно названы атомами пространства, или кирпичами (kirpich).

2. Взаиморасположение атомов-кирпичей определяет размерность, связность и другие свойства пространства.

3. Отдельно взятый атом-кирпич не имеет размерности (наиболее удобной и логически непротиворечивой геометрической аналогией кирпича является бесконечномерный единичный куб в бесконечномерном евклидовом пространстве; отсюда и название кирпич).

Полученное пространство весьма напоминает кристаллическую решетку твердого тела, в узлах которой расположены атомы. Сразу же возникает вопрос: если атомы кристаллической решетки расположены в физическом пространстве, то в чем находятся атомы пространства? Ответа на вопрос нет. Тем не менее можно считать, что атомы пространства «плавают» в некой «среде», к которой в принципе не применимы привычные для нас понятия и определения и о которой мы не знаем вообще ничего. Однако такой подход, хоть и в малой мере, но позволяет ученым использовать аналогии и с привычными объектами, понятиями и подходами.

Теперь рассмотрим движение трехмерных объектов в четырехмерном дискретном пространстве.

В бильярде шары от ударов кия катятся по поверхности стола, сталкиваются друг с другом и отталкиваются от стенок. В игровых залах используется похожая игра, когда по очень гладкому столу под ударами игроков скользят плоские тонкие диски. Эго классические примеры двухмерного движения. Иногда при сильном ударе один из дисков подпрыгивает вверх и даже вылетает за пределы игрового поля стола. В этом случае двухмерное движение переходит в трехмерное.

Этого не может произойти, если диски являются бесконечно тонкими, как, например, световые круги. Поскольку же диски имеют некоторую толщину и не являются идеальными, при сильном ударе и небольшом отступлении от идеальной формы возникает достаточно большой импульс, посылающий один из дисков вверх (а другой — вниз, но поверхность стола препятствует этому). Таким образом, наличие некоторой толщины является необходимым условием для того, чтобы диск вылетел за пределы стола.

Тот же самый подход мы можем использовать при описании движения трехмерных объектов в четырехмерном пространстве. Как мы уже говорили, если пространство непрерывно, трехмерные объекты являются бесконечно тонкими в направлении четвертого измерения и не могут покинуть тот трехмерный слой, в котором они находятся в данный момент. И никаких разумных физических допущений, позволяющих объяснить переход из слоя в слой, просто не существует. Если же пространство дискретно, то трехмерные объекты уже не являются бесконечно тонкими в направлении четвертого измерения и могут покинуть тот трехмерный слой, в котором они находятся в данный момент, при возникновении определенных физических условий.