Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике - [2]

Для рассмотрения теоремы Чебышева вначале необходимо доказать неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева справедливо как для дискретных, так непрерывных случайных величин. Рассмотрим его на примере дискретных случайных величин.

Предположим, что случайная дискретная величина X подчиняется закону распределения вида:

Задача состоит в оценке вероятности того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания М(Х) не превышает по абсолютной величине положительного числа β. Если число β достаточно мало, то задача будет состоять в оценке вероятности того, что случайная величина Х примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию М(Х). Данная задача решается с применением неравенства П.Л. Чебышева.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания М(Х) по абсолютной величине меньше положительного числа β не меньше, чем

т. е.

Доказательство. Так как события |Х-М(Х)|‹ε и |Х-М(Х)|≥ε являются противоположными, то на основании теоремы сложения вероятностей сумма их вероятностей равна единице:

P(|Х-М(Х)|‹ε)+P(|Х-М(Х)|≥ε)=1.

Выразим из полученного равенства вероятность |Х-М(Х)|‹ε:

P(|Х-М(Х)|‹ε)=1– P(|Х-М(Х)|≥ε). (1)

Дисперсия случайной величины Х определяется по формуле:

D(X)=(x1–M(X))2*p1+(x2–M(X))2*p2+…+(xn–M(X))2*pn.

Если отбросить первые k+1 слагаемые, для которых выполняется условие |xj-M(X)|‹ ε, то получим следующее неравенство:

D(X)≥(xk+1–M(X))2*pk+1+(xk+2–M(X))2*pk+2+…+(xn–M(X))2*pn.

Возведя обе части неравенства

в квадрат, получим равносильное неравенство |xj–M(X)|2≥ε2.  Если заменить в оставшейся сумме каждый из множителей |xj–M(X)|2 числом β2, то получим следующее выражение:

D(X)≥ ε2(pk+1+ pk+2+…+ pn).

Так как сумма в скобках (pk+1+ pk+2+…+ pn) является выражением вероятности P(|Х-М(Х)|≥ε), то справедливо неравенство (2):

D(X)≥ ε2P(|Х-М(Х)|≥ε),

или

Если подставить неравенство (2) в выражение (1), то получим:

что и требовалось доказать.

Теорема Чебышева. Если величины X1, X2, …, Xn являются последовательностью попарно независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С (D(Xi)≤C), то, как бы ни было мало положительное число ε, вероятность неравенства

ε будет приближаться к единице, если число случайных величин достаточно мало. Другими словами, для любого положительного числа существует предел:

Доказательство. В силу второго свойства дисперсии (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат) и оценки D(Xi)≤C получим:

Таким образом,

Из данного соотношения и неравенства Чебышева вытекает, что

Отсюда, переходя к пределу при n›ε, получим

Учитывая, что вероятность не может быть больше единицы, окончательно запишем:

что и требовалось доказать.

Если для рассматриваемых случайных величин математическое ожидание одинаково и дисперсии данных величин ограничены, то к ним применима теорема Чебышева. В этом случае считается справедливым утверждение, что среднее арифметическое достаточно большого количества попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной, утрачивает характер случайной величины.

3. Теоремы Бернулли и Ляпунова

Предположим, что проводится n независимых испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянна и равна р. Задача состоит в определении относительной частоты появлений события А. Данная задача решается с помощью теоремы Бернулли.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний событие A имеет постоянную вероятность p, то, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т. е. при соблюдении условий теоремы справедливо равенство:

Доказательство. Предположим, что

является дискретной случайной величиной, которая характеризует число появлений события А в каждом из испытаний. Данная величина может принимать только два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью q=1-p.

Случайные дискретные величины Хiявляются попарно независимыми и дисперсии их ограниченны, следовательно, к данным величинам применима теорема Чебышева:

Математическое ожидание а каждой из величин Хiравно вероятности р наступления события, следовательно, справедливо следующее равенство:

Таким образом, необходимо доказать, что дробь

или

равна относительной частоте m/n появлений события А в n испытаниях.

Каждая из величин

при наступлении события А в соответствующем испытании принимает значение, равное единице. Следовательно, сумма

равна числу m появлений события А в n испытаниях:

С учётом данного равенства можно окончательно записать:

что и требовалось доказать.

Однако при использовании теоремы Бернулли необходимо учитывать то, что из неё не следует равенство

Главным утверждением теоремы является то, что при достаточно большом количестве испытаний относительная частота m/n будет сколь угодно мало отличаться от постоянной вероятности р наступления события в каждом испытании. Другими словами, теорема Бернулли утверждает, что при n›