Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - [56]
А как насчет ~ P>k(k)? Из предыдущих рассуждений видно, что доказательство этому утверждению внутри системы мы найти не сможем. Мы только что установили, что ~ P>k(k) должно быть ложным (ибо P>k(k) является истинным), а мы, по определению, не имеем возможности доказывать ложные утверждения в рамках системы! Таким образом, ни P>k(k), ни ~ P>k(k) недоказуемы в нашей формальной системе, что и составляет теорему Геделя.
Математическая интуиция
Обратите внимание, что мы здесь сталкиваемся с одной примечательной особенностью. Часто думают, что теорема Геделя имеет, в некотором роде, отрицательный смысл, поскольку она указывает на принципиальные ограничения в применении формальных математических рассуждений. Независимо от нашего мнения об универсальности применяемого подхода, всегда найдутся утверждения, которые не попадают в сферу его действия. Но насколько, в действительности, нас могут затрагивать частные случаи типа P>k(k)? В ходе предыдущих рассуждений мы установили, что P>k(k) — истинное утверждение! Мы смогли это сделать несмотря на то, что это утверждение формально недоказуемо в рамках системы. А вот математических формалистов это должно волновать, потому что наши рассуждения с необходимостью приводят к выводам о неполноте их понятия «истины». Какая бы (непротиворечивая) формальная система не использовалась для арифметики, в ней будут содержаться утверждения, понимаемые нами как истинные, но которым не может быть приписано значение ИСТИНА при помощи вышеописанной формальной процедуры. Способ, при помощи которого формалист сумел бы обойти подобные трудности, мог бы состоять в том, чтобы не говорить о понятии истины, а только лишь о доказуемости внутри конкретной формальной системы. Однако же, такой подход весьма ограничен. Он не позволил бы даже сформулировать утверждение Геделя и осуществить его доказательство, как это было сделано выше, поскольку в значительной части рассуждений речь идет как раз об определении того, что есть ложь, а что — истина[73]. Некоторые формалисты встают на более «прагматическую» точку зрения, заявляя, что их не волнуют утверждения, подобные P>k(k), поскольку они исключительно сложны и не интересны в качестве арифметических выражений. Отстаивают они свою точку зрения примерно так:
«Да, есть странные утверждения, вроде P>k(k), для которых мое понятие доказуемости или ИСТИНЫ расходится с вашим интуитивным понятием истинности, но подобные выражения едва ли встречаются в серьезной математике (по крайней мере не в такой, которая меня интересует), поскольку они абсурдно усложнены и неестественны для математики».
Несомненно, что утверждения вида P>k(k), будучи полностью выписанными, были бы чрезвычайно громоздки и выглядели бы странно для числовых математических выражений. Однако за последнее время были выдвинуты сравнительно простые выражения приемлемого с точки зрения математики характера, которые эквивалентны утверждениям Геделя[74]. Они недоказуемы на основании обычных аксиом арифметики, однако же следуют из некоего свойства «самоочевидности», которым обладает сама система аксиом.
Отсутствие интереса к «математической истине», исповедуемое формалистами, кажется мне очень странной позицией в приложении к философии математики. Более того: она совсем не так прагматична, как представляется. Когда математики проводят свои выкладки, они не намерены постоянно проверять, могут ли они быть сформулированы посредством аксиом и правил вывода некоторой сложной формальной системы. Единственно, что необходимо — быть уверенным в правомерности использования этих рассуждений для установления истины. Доказательство Геделя удовлетворяет этому требованию, так что P>k(k) является математической истиной с таким же правом, как и любое другое утверждение, полученное более стандартным путем с использованием изначально заданных аксиом и правил вывода.
