Неопределенный электрический объект. Ампер. Классическая электродинамика. - [13]
В 1806 году Ампер опубликовал один из своих докладов о производных функциях с длинным названием: «Исследование некоторых аспектов теории производных функций, ведущее к новому доказательству рядов Тейлора и конечному выражению бесконечно ничтожных показателей при прерывании рядов через какой бы то ни было показатель». Теорема Тейлора была сформулирована английским математиком Бруком Тейлором (1685-1731) в 1712 году.
В работе Ампера ощущалась нехватка метода системной организации определений, аксиом и теорем, который в дальнейшем разовьет один из его коллег, математик Огюстен Луи Коши (1789-1857).
Эту работу можно рассматривать как набросок к более позднему исследованию уравнений в частных производных. Ее целью было изменение подхода Лагранжа, по поводу которого в Политехнической школе в 1799 году состоялось множество конференций. Лагранж опубликовал свой труд в 1804 году под названием «Лекции об исчислении функций». Он определял производную функции через ее разложение в ряд Тейлора и рассчитал выражение для остаточного члена, приблизив функцию через усечение разложения до данного члена. Другими словами, Лагранж использовал понятие производной функции, не вводя понятия предела.
Ампер дополнил подход Лагранжа: он дал новое определение производной и предложил новую формулу для разложения в ряд Тейлора, по-прежнему не используя понятия предела.
Определение, предложенное Ампером в его статье 1806 года, основывается, как мы можем видеть, на алгебре.
Производная функции f(x) — функция от х следующего вида:
f(x + i)-f(x)/i
Она всегда лежит между двумя значениями производной функции, взятыми между х и х + г/, какими бы ни были x и y.
Андре-Мари Ампер называл частной функцией приращения частное, возникающее в данном ниже определении. Прежде чем дать определение в тексте, он объяснял, откуда появлялись эти выражения:
«Эта функция (приращения), которая очевидным образом зависит от ƒ(x) и которую господин Лагранж назвал вследствие этого ее производной функцией, является, как мы знаем, очень важной в математике, особенно в геометрии, и механике; мы запишем ее, как делал этот блестящий математик, в виде ƒ(x), и нашей первой целью будет доказательство ее существования».
На самом деле при i = 0 мы получаем неопределенность вида 0/0. Но Ампер доказал, что эта неопределенность может иметь какое угодно значение, не только 0 или бесконечность; он доказал существование частного приращения, уточнив его определение. При этом Ампер не рассматривал возможность, когда i стремится к нулю, а ограничился ситуацией, когда i равно нулю; в некотором роде ученому не хватило понятия предела. Потом он проверил свое определение, применив его к тригонометрическим функциям. Он расширил использование определения, с тем чтобы доказать, что теорема Тейлора, несмотря на ее сложность, является релевантной. Исследование заканчивается обобщением подхода Ампера к функциям с двумя переменными, что является предвестием большего математического труда под названием «Общие рассуждения об интегралах в дифференциальных уравнениях в частных производных», опубликованного в 1815 году в журнале Политехнической школы.
Ряд Тейлора — это бесконечная сумма выражений, содержащих производные функции f(x) всех порядков. Ряд Тейлора функции f(x) в окрестности точки х = а записывается в виде следующего степенного ряда:
>∞
f(x)=f(a) + f'(a)/1!(х - а)+f"(a)/2!(х - а)2+f'"(a)/3!(х - а)3+...Σf>(n)(a)/n!(х - а)>n
>n=0
Чем больше степень, тем точнее приближение функции; иными словами, приближение улучшается по мере добавления членов ряда. Напомним, что n! — это факториал, математический оператор, который является произведением всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Например: 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24. Случай приближения функции синуса окрестности точки х = 0 простой, потому что все четные производные обнуляются (см. рисунок):
f(x) = х - x>3/3! + x>5/5! ...
Отсюда мы можем вывести теорему Тейлора, которую обобщил шотландский математик и астроном Джеймс Грегори (1638-1675). Эта теорема гласит, что дифференцируемую функцию в окрестности точки можно приблизить многочленом, коэффициенты которого зависят от производных функции в данной точке. Этот многочлен является не чем иным, как усеченны рядом Тейлора, дополненным суммой членов более высоких порядков:
f(x)=f(a) + f'(a)/1!(х - а)+f"(a)/2!(х - а)>2+...+f>(n)(a)/n!(х - а)>n + R>n(f).
Разные линии отображают приближения 1, 3 и 5-й степени. Естественно, приближение 5-й степени лучше описывает функцию в точке 0.
В начале XIX века уравнения в частных производных (также называемые уравнениями в частных дифференциалах) вызывали большой интерес. Их изучение было связано с некоторыми проблемами физики — в частности, с волновыми уравнениями и уравнениями распространения тепла. При этом имена Лапласа, Коши, Пуассона и Фурье знакомы студентам физических и инженерных факультетов, однако вряд ли они слышали имя Ампера в связи с этими научными дисциплинами. Дело в том, что Ампер больше занимался классификацией уравнений, нежели решением конкретных физических проблем. Его система классификации уравнений в частных производных была хорошо принята, однако ее быстро превзошла система немецкого математика Поля Давида Густава Дюбуа-Реймона (1831-1889), и даже современные математики используют его терминологию. Превосходство системы немецкого математика объясняется очевидными пробелами в работе Ампера. Определения, предложенные французским ученым, неточны, обозначения сложны, теоремы не выстроены по степени важности, а примеры не развернуты. И все же оригинальность работы Ампера была замечена научным сообществом, и ему в 1815 году предложили стать членом Французской академии наук. Работы Ампера были высоко оценены и шотландским математиком Эндрю Расселом Форсайтом (1858-1942), известным среди историков науки благодаря своим многочисленным трактатам. В прекрасном девятитомнике под названием «Теория дифференциальных уравнений» (1890-1906) Форсайт неоднократно упоминает Ампера и положительно оценивает его вклад в изучение дифференциальных уравнений:
