(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью - [60]
Тот факт, что нормальное распределение описывает распределение ошибки измерения, открыл десятилетия спустя после выхода работы де Муавра человек, имя которого носит колоколообразная кривая, — немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Эта мысль — во всяком случае, в отношении астрономических измерений, — пришла Гауссу в голову, когда он работал над проблемой траекторий движения планет. Однако же «доказательство» Гаусса было, по его собственному позднейшему признанию, ошибочным>{149}, а далеко идущие последствия этого открытия тоже не пришли ему на ум. Поэтому он, дабы не привлекать излишнего внимания, сунул обнаруженный закон в один из последних параграфов своей книги «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям». Там бы она и сгинула, эта еще одна из многочисленных отвергнутых наукой идей о том, как должен выглядеть закон распределения ошибок.
Однако нормальное распределение вернул из небытия Лаплас, наткнувшийся на работу Гаусса в 1810 г., вскоре после того, как подал в Академию наук статью с доказательством так называемой центральной предельной теоремы, гласящей, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Например, предположим, что вы выпекаете 100 буханок хлеба, каждый раз основываясь на рецепте, по которому должны получаться буханки весом в 1000 граммов. Но иногда вы случайно добавляете то чуть меньше, то чуть больше муки или молока, а иногда чуть меньше или чуть больше жидкости испаряется за время нахождения буханки в печи. В конечном счете в силу каждой из множества возможных причин вес буханки может вырасти или уменьшиться на несколько граммов, и в этом случае центральная предельная теорема утверждает, что итоговый вес буханок будет варьировать в соответствии с законом нормального распределения. Читая работу Гаусса, Лаплас сразу же понял, что может использовать его открытие в целях совершенствования собственной работы, а его собственная работа, в свою очередь, намного убедительнее, чем это удалось Гауссу, доказывает: нормальное распределение является отражением закона распределения ошибок. Лаплас немедленно опубликовал краткое продолжение статьи, посвященной центральной предельной теореме. В наши дни эта теорема и закон больших чисел — две наиболее важных наработки в рамках теории случайности.
Чтобы пояснить, каким образом центральная предельная теорема доказывает, что нормальное распределение адекватно отражает закон случайного распределения ошибки, вернемся к примеру Даниила Бернулли с лучником. Мне однажды довелось выступить в роли лучника во время вечера в приятном обществе с крепкими напитками и беседами не для детского уха: ко мне прибежал мой младший сын Николай, протянул мне лук и стрелу и начал упрашивать, чтобы я метким выстрелом сбил у него с головы яблоко. И хотя стрела была с мягким наконечником из губки, мне показалось разумным проанализировать свои возможные ошибки и оценить их вероятность. Естественно, больше всего меня беспокоили смещения по вертикали. Простая модель таких ошибок выглядит следующим образом: каждый случайный фактор (скажем, ошибка прицеливания, влияние воздушных потоков и т. п.) может с равной вероятностью сместить мой выстрел по вертикали либо вверх, либо вниз относительно мишени. Итоговая ошибка будет равна сумме всех этих ошибок. Если мне повезет, примерно половина из них сместит выстрел вверх, другая половина — вниз, и тогда я попаду точно в цель. А если мне (точнее, моему сыну) не повезет, то все ошибки подействуют в одном направлении, и в цель я не попаду, а попаду либо существенно ниже, либо существенно выше. Соответственно, мне хотелось знать, какова вероятность того, что ошибки нивелируют друг друга, или, напротив, их сумма достигнет максимального значения, или примет одно из промежуточных значений. Но это был в точности процесс Бернулли, как если бы я подбрасывал монеты и задавался при этом вопросом, с какой вероятностью у меня выпадет определенное число орлов. Ответ на этот вопрос дает треугольник Паскаля или, если попыток много, нормальное распределение. И ровно этому же посвящена центральная предельная теорема. (Кстати сказать, в итоге я не попал ни в яблоко, ни в сына, но зато сбил бокал превосходного каберне.)
К 1830-м гг. большинство ученых обрели уверенность в том, что любое измерение многосоставно, подвержено огромному числу источников отклонения, а следовательно, и закону распределения ошибок. Этот закон, наряду с центральной предельной теоремой, привел, таким образом, к новому, более глубокому пониманию получаемых данных и их отношения к физической реальности. В следующем веке эти за идеи ухватились ученые, занимающиеся исследованием человеческого общества. К своему удивлению, они обнаружили, что человеческое поведение и индивидуальные особенности нередко подчиняются тем же закономерностям, что и ошибка измерения. В связи с этим было решено расширить круг приложений закона распределения ошибок за пределы естествознания и применять его в новой науке о человеческих отношениях.
