Наука Плоского Мира II: Земной шар - [17]

Математики называют такие задачи «комбинаторными», и для их решения придумали множество хитроумных способов. Грубо говоря, комбинаторика — это искусство считать, не прибегая к прямым подсчетам. Много лет тому назад один наш знакомый математик случайно увидел, как университетский администратор считает лампочки на потолке аудитории. Лампочки были расположены в виде идеально прямоугольной сетки размером 10 на 20. Администратор, глядя в потолок, считал: «49, 50, 51…»

«Двести», — сказал математик.

«Как вы узнали?»

«Ну, здесь сетка размером 10 на 20, а 10 умножить на 20 равно 200»

«Нет, нет», — возразил администратор. — «Мне нужно точное количество»[22].

Но вернемся к нашим машинам. Есть пять цветов, каждый из которых может заполнить одно место. Иначе говоря, есть пять способов заполнить первое место, пять способов заполнить второе место и так далее. Любой способ заполнения первого место можно скомбинировать с любым способом заполнения второго места, поэтому два места можно заполнить 5 × 5 = 25 способами. Каждый из них можно скомбинировать с любым из 5 способов заполнения третьего места, и тогда количество вариантов составит 25 × 5 = 125. Рассуждая аналогичным образом, мы придем к выводу, что количество способов заполнения целой парковки составит 5 × 5 × 5… × 5, где пятерка повторяется сто раз. Иначе говоря, 5¹⁰⁰, а это довольно большое число. Если быть более точным, оно равно

78886090522101180541172856528278622

96732064351090230047702789306640625

и состоит из 70 цифр (мы разбили число на две строки, чтобы оно уместилось на странице). Между прочим, чтобы получить этот результат, системе компьютерной алгебры потребовалось примерно пять секунд, из которых около 4,999 было потрачено на ввод необходимых команд. А большую часть оставшегося времени занял вывод результата на экран. В любом случае, теперь вы понимаете, почему комбинаторика — это искусство считать, не прибегая к прямым подсчетам; мы бы никогда не получили результат, если бы пересчитывали все возможные варианты по одному: 1, 2, 3, 4… Хорошо, что университетский администратор не занимался парковкой.

Насколько велико Б-пространство? По словам Библиотекаря, оно бесконечно, и это действительно так, если под бесконечностью понимать «число, намного превосходящее те, что я могут себе представить», или если не ограничивать максимальный объем книги[23], или использовать все возможные алфавиты, слоговые азбуки и пиктограммы. Если же говорить о книгах «обычного размера», написанных на английском языке, то оценку количества книг можно снизить.

В среднем книга состоит из 100 000 слов, или примерно 600 000 символов (букв и пробелов, знаки препинания мы опустим). В английском алфавите 26 букв, что вместе с пробелом дает 27 символов, которые можно поставить в любую из 600 000 позиций. Метод подсчета, который мы использовали для решения задачи об автопарковке, позволяет сделать вывод, что максимальное количество книг такой длины составляет 27^{600 000}, что примерно равно 10^{860 000} (это число состоит из 860 000 цифр). Конечно же, большая часть этих книг не несет в себе практически никакого смысла, так как мы не требовали, чтобы буквы складывались в осмысленные слова. Если мы будем считать, что слова выбираются из стандартного списка, состоящего из 10 000 элементов, и вычислим количество способов расположения 100 000 слов в определенном порядке, то получим 10 000^{100 000}, или 10^{400 000} — это число немного меньше предыдущего…, но все равно огромно. Правда, по большей части смысла в этих книгах тоже немного, потому что выглядят они примерно так: «Капуста отчество забытый запретить враждебный квинтэссенция» — и так до конца книги[24]. Так, может быть, нам стоит использовать предложения… Как бы то ни было, даже сократив количество книг таким способом, мы обнаружим, что Вселенная физически не в состоянии вместить их все. Все-таки хорошо, что у нас есть Б-пространство. И теперь мы знаем, почему места на полке никогда не хватает. Мы склонны считать наши крупнейшие библиотеки, например, Британскую Библиотеку или Библиотеку Конгресса, довольно большими. На самом же деле пространство всех реально написанных книг — это лишь крошечная доля всех книг, которые могли бы существовать. И вряд ли мы когда-либо исчерпаем это пространство.

Фазовые пространства Пуанкаре оказались настолько полезными, что теперь их можно встретить практически во всех областях науки — а также за ее пределами. Заметным «потребителем» фазовых пространств является экономика. Предположим, что в национальной экономике циркулирует миллион различных товаров: сыры, велосипеды, крысы на палочке и так далее. Каждый товар имеет свою цену — например, кусок сыра стоит 2,35 фунта, велосипед — 449,99 фунтов, а крыска на палочке — 15 фунтов. Тогда состояние национальной экономики определяется списком из миллиона чисел. Фазовое пространство состоит из всевозможных списков, насчитывающих миллион чисел, включая и те, которые с точки зрения экономики не несут в себе никакого смысла — например, список, в котором велосипед стоит 0,02 фунта, а крыса — 999 999 999, 95 фунтов. Задача экономиста — найти те принципы, в соответствии с которыми происходит отбор реального списка из пространства всех возможностей.