Научный метод познания. Ключ к решению любых задач - [7]

Но статистическая ошибка будет всегда. Поэтому в точных науках результат даётся с погрешностью, например: х = (34 ± 2), CL = 95 %. Это означает, что на уровне достоверности 95 % величина х лежит в интервале от 32 до 36. И еще есть вероятность 5 % того, что величина х находится вне этого интервала. CL – confidence level – уровень достоверности (англ.).

Все случайные величины подчиняются распределению Гаусса в пределе при количестве элементов выборки, стремящемуся к бесконечности. Согласно распределению Гаусса, наиболее вероятная величина – среднее арифметическое бесконечно большой выборки. Однако реальные выборки отнюдь не бесконечно большие, а 100 или 1000 или любое иное число элементов. Причем, среднее арифметическое реальной выборки далеко не всегда равно среднему арифметическому бесконечно большой выборки.

Например, в некоем ресторане обычно около 1000 посетителей в месяц, а средняя сумма чека – 300 рублей. Но однажды там ещё 10 человек отметили свадьбу с суммой чека 120 000 рублей. Если мы подсчитаем среднее арифметическое за данный месяц, то у нас получится (300*1000 + 120 000)/1010 = 416 руб. Можно ли говорить, что "бизнес растёт"? Разумеется, нет. Потому что среднее арифметическое данной выборки за данный месяц – 416 руб. – сильно отличается от среднего арифметического более крупной выборки – за год, где оно равно 300 руб. Но что делать, если в данном конкретном случае у нас нет физической возможности увеличения объёма выборки для приближения её к распределению Гаусса?

Для решения этой задачи были введены другие мерила для нахождения средне-статистической величины, позволяющие в таких случаях подойти ближе к среднему арифметическому кривой распределения Гаусса – мода и медиана.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение переменной. Мода позволяет выбирать в качестве среднего наиболее вероятное значение. В данном случае мода будет равна 300 руб.

Медиана – среднее по счету значение в ряду значений переменной, упорядоченному в порядке возрастания или убывания. Медиана позволяет отбрасывать как крайне большие, так и крайне малые значения переменной. В данном случае мы просто отбрасываем крайнее значение суммы чека и получаем, что медиана равна 300 руб.

ПРИМЕР . «Экстрасенсы». Рассчитаем вероятность случайного угадывания предмета эксрасенсами, не имеющую отношению к сверхестественным способностям. Допустим, у нас есть 3 коробки, и только в одной из них спрятан некий предмет, который экстрасенсы должны найти. Положим, что это – первая коробка. И у нас есть 1 экстрасенс. Чтобы вычислить вероятность, обратим внимание на то, что здесь есть 3 элементарных события – экстрасенс назвал первую коробку или вторую коробку или третью коробку. Их можно записать для наглядности таким образом:

1 0 0 – угадал

0 1 0 – не угадал

0 0 1 – не угадал

Вероятность случайного угадывания равна 1/3, т. е. 33 %, вероятность промаха 2/3 = 67 %. И заметьте – в таких опытах – по одиночке – экстрасены почему-то не участвуют!

А теперь рассмотрим второй вариант – те же 3 коробки, но уже 2 экстрасенса. Их ответы обозначим числами 1 и 2 Вероятность того, что хотя бы один угадает, существенно повышается. Вот элементарные события:

1 2 0

2 1 0

2 0 1

1 0 2

0 1 2

0 2 1

(12) 0 0 – здесь оба угадали

0 (12) 0

0 0 (12)

Как видим, в 5 из 9 событий хотя бы 1 экстрасенс угадал ответ. Значит, вероятность случайного угадывания уже равна 5/9, т. е. 55 %.

Математически вероятность промаха во втором случае равна произведению вероятностей промаха каждого из случаев:

(2/3)2 = 4/9

А значит, вероятность угадывания равна 1 – 4/9 = 5/9 = 55 %.

А теперь добавим 3-го экстрасенса. Легко видеть, что и здесь количество промахов уменьшается – оно уже равно произведению трех вероятностей:

(2/3) 3 = 8/27 = 30%

А вероятность угадывания равна уже 70 %. А если над тремя коробками гадают 5 экстрасенсов, шаманов и колдунов, то вероятность промаха равна:

(2/3)5 = 32/243 = 13%

А значит, вероятность случайного угадывания равна уже 87 %:

100 % – 13 % = 87%

Это уже весьма вероятное событие.

А когда в таком «опыте» участвует 10 экстрасенсов, колдунов, магов и шаманов, то вероятность промаха равна всего 2 %:

(2/3)10 = 2%

А значит, вероятность случайного угадывания равна уже 98 %! Это уже практически достоверное событие.

Следовательно, на так называемых «битвах экстрасенсов» эксперимент поставлен уже изначально антинаучно, математически некорректно. Вместо экстрасенсов можно поставить любых людей или даже животных или компьютеры – результат случайного попадания будет в точности таким же!

И это все, естественно, только в том случае, если экстрасенсы не сговариваются и не видят предыдущие результаты. Если же они видят предыдущие результаты или сговорились, то достаточно называть следующую коробку и с вероятностью 100 % всего 3 экстрасенса угадают правильную.

Чтобы проверить способности экстрасенсов по-научному, надо существенно снизить фактор случайного совпадения. Для этого надо поставить математически корректный опыт – с 1000 коробками, 1 предметом и 1 экстрасенса – его и проверять. Тогда вероятность случайного угадывания будет равна 1/1000 =